数论 工具 线性筛

由于做莫反题需要大量的基础函数知识，于是有了这篇文章将我做到的函数都记录下来。

持续施工中。

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约数和函数 $\sigma$

定义：$\sigma (x)=\sum _{d|x}d$。

证其为积性函数：

设 $x=\prod p_i^{a_i}$，设 $d$ 为 $x$ 的质因数个数，那么发现：

$$\begin{array}{rl}\sigma (x)& =\sum _{i_1=0}^{a_1}\sum _{i_2=0}^{a_2}\cdots \sum _{i_d=0}^{a_d}{p}_1^{i_1}{p}_2^{i_2}\cdots p_d^{i_d}\\ & =\sum _{i_1=0}^{a_1}{p}_1^{i_1}\sum _{i_2=0}^{a_2}{p}_2^{i_2}\cdots \sum _{i_d=0}^{a_d}{p}_d^{i_d}\\ & =\prod _{i=1}^d\sum _{j=0}^{a_i}{p}_i^j\end{array}$$

我们发现当 $d=1$ 时，$\sigma (x)=\sum _{i=0}^{a_1}{p}_1^i$，即上述式子可以转化为：

$$\sigma (x)=\prod _{i=1}^d\sigma (p_i^{a_i})$$

推广可得：

$$\sigma (a\times b)=\sigma (a)\sigma (b)gcd(a,b)=1$$

证毕。

接下来考虑如何线性筛。考虑我们当前的数 $i$，令其最小的质因子为 $p$。由积性函数可知，我们需要先使两个数 $a,b$ 互质，再由 $\sigma (a\times b)=\sigma (a)\sigma (b)$ 转移。那么我们若想从 $\sigma (i)$ 转移至 $\sigma (i\times p)$，需要先将 $i$ 中所有的质因子 $p$ 除掉，转移式子即为 $\sigma (i\times p)=\sigma (\frac{i}{p^{a_1}})\sigma (p^{a_1+1})$。用 $lo{w}_i$ 维护 $\sigma (p^{a_1})$，那么 $low$ 的转移有 $lo{w}_{i\times p}=lo{w}_i\times p+1$，此时 $\sigma$ 的转移有 $\sigma (i\times p)=\frac{\sigma (i)}{lo{w}_i}\times lo{w}_{i\times p}$。

实现中，当出现 $i\mathrm{mod}{p}_j=0$ 的情况就用上述方法转移，否则 ${\sigma }_{i\times p_j}$ 直接用积性函数性质求，$lo{w}_{i\times p_j}$ 的值等于 $\sigma (p_j)$，因为如果此时 $i$ 中有比 $p_j$ 更小的质因子的话，早在前面就会被筛出来然后 break 掉。

因为 $\sigma$ 跟 $o$ 挺像，所以在代码中 $o_i$ 表示 $\sigma (i)$。

int pri[N],tot,o[N],low[N];
bool vis[N];
void Wprepare()
{
	o[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!vis[i]) pri[++tot]=i,o[i]=low[i]=i+1;
		for(int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if(i*pri[j]>N) break;
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j]+1;
				o[i*pri[j]]=o[i]/low[i]*low[i*pri[j]];
				break;
			}
			low[i*pri[j]]=pri[j]+1;
			o[i*pri[j]]=o[i]*o[pri[j]];
		}
	}
}

例题是 [SDOI2014]数表，莫反部分不难，难点在理解如何筛约数和以及动态维护某个函数前缀和，练习 $\sigma$ 函数的好题。