『模拟赛』暑假集训CSP提高模拟6

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A. 花间叔祖

签到题，但没切。

一眼出思路找最大公因数，过了大样例发现同余的情况也合法，然后开始优化，成功从 68pts 到了 88 pts。

考虑正解，首先答案不是一就是二。若答案是一，即所有数可在模某数 $x$ 意义下同余。不妨将每个数化成 $a_i=k\times x+d$ 的形式，则若存在一个 $x$ 使得所有的 $d$ 都相等，那么有 $a_i-a_j=(k_i-k_j)\times x$，所以我们对排序后的差值进行求 gcd，复杂度为 $\mathcal{O}\mathcal{(}\mathcal{n}\mathcal{)}$。

B. 合并r

有趣的题面，但题比较 ex。

看到题就开始想部分分了，首先对于 $n=1$，显然 $k$ 只能为 $1$，那么答案也是 $1$。

对于 $k=1$，赛时由于 $n==5$ 的情况手模错了导致推出了假结论，恼。

正解是 dp。设 $f_{i,j}$ 为共 $i$ 个数和为 $j$ 的方案数，显然加入一个 $1$，即 $f_{i-1,j-1}$ 可对答案产生贡献。

其次，由于 $j$ 是由若干个 $\frac{1}{2^i}$ 加和得到的，那么显然 $\frac{j}{2}$ 可以由若干个 $$\frac{1}{2^{i+1}} 得到，因此第二个状态转移方程为 $f_{i,j}+=f_{i,2\times j}$。

注意边界问题，$f_{0,0}=1$。

C. 回收波特

很大方啊，给了 60pts 的暴力分。

首先看到 Subtask1 中 $n\times m\le {10}^8$，显然想让你用 $\mathcal{O}\mathcal{(}\mathcal{nm}\mathcal{)}$ 的做法解，最无脑的一个，每次操作枚举每个没有到达终点的波特，记录位置最后输出答案即可。

Subtask2 中给了 $x_i\le {10}^3$。思考一下，$3\times {10}^5$ 的波特只出现在这 $1000$ 个位置，显然可以把每个波特映射到初始位置上，按每个位置求解，复杂度为 $\mathcal{O}\mathcal{(}{\mathcal{x}}_{\mathcal{max}}\mathcal{m}\mathcal{)}$，时限两秒，可过。

正解提供了一个很厉害的思路：对于某一时刻，若两个波特的坐标关于原点对称，那么之后的所有移动二者都是对称的。

我们每次只维护一段符号相同的区间 $[l,r]$ 的情况。

若在执行当前操作后符号不完全相同了，则利用上面的对称性，将符号不同的两边中元素数量较少的一边删去。

最后 dfs 一遍推出被扔掉的点的信息。

D. 斗篷

正解差分+扫描线。

题意倒很简单，关键是如何维护信息。