P4317 花神的数论题 题解

头

话说好久没写题解了

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P4317 花神的数论题

题链

题意：给你一个不超过 \(10^{15}\) 的数 \(n\)，求 \(\prod_{i=1}^n sum_i\)，其中 \(sum_i\) 表示 \(i\) 在二进制表示下 \(1\) 的个数。

学了几道题后，本能的设出了 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 位数中含 \(j\) 个 \(1\) 的数的个数，转移方程为：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1} \]

那么之后呢？

如果你仔细研究过上面的转移，你也许会发现，它就相当于组合数 C 的预处理。

组合数又有什么特殊性质呢？

别急，我们先用暴力的代码打表找找规律。

得到：

1 1
2 1
3 2
4 1
5 2
6 2
7 3

换一种形式并加以排序，得到：

1
1 2
1 2 2 3
1 2 2 2 3 3 3 4

记录每行每个数的个数，则有：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

杨辉三角！

现在我们是否能想起来，杨辉三角除去第一列后的数值等于对应的组合数。

之后，我们只要求出 \(n\) 在二进制意义下的位数 \(len\) 及第 \(i\) 位为 \(1\) 的位上后面那一堆数字里面挑出 \(j\) 个数的方案 \(num_i\) 就好了，注意加上 \(cnt\).那么结果显然为 \(\prod_{i=1}^{len} i^{sum_i}\)。

其他的，注意 \(mod\) 和 long long。

code：

const int mod=1e7+7;
ll n,cnt,len,ans=1;
ll f[51][51],d[51],num[51];
namespace Wisadel
{
	void Wpre()
	{
		fo(i,0,50) f[i][0]=1;
		fo(i,1,50)
		{
			fo(j,1,i)
				f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
		}
	}
	ll Wqp(ll x,ll y)
	{
		ll res=1;
		while(y)
		{
			if(y&1)
				res=res*x%mod;
			x=x*x%mod;
			y>>=1;
		}
		return res;
	}
	short main()
	{
		Wpre();
		n=qr;
		while(n)
			d[++len]=n&1,n>>=1;
		fu(i,len,1)
			if(d[i])
			{
				fo(j,1,i-1)
					num[cnt+j]+=f[i-1][j];
				++num[++cnt];
			}
		fo(i,1,len)
			ans=ans*Wqp(i,num[i])%mod;
		printf("%lld\n",ans);
		return Ratio;
	}
}
int main(){return Wisadel::main();}

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完结撒花~