[POJ2891]Strange Way to Express Integers公式推导
![[POJ2891]Strange Way to Express Integers公式推导](https://img2024.cnblogs.com/blog/3387797/202404/3387797-20240414115608716-133341267.png)
[POJ2891]Strange Way to Express Integers公式推导
没啥事干，想着推个式子玩玩。
题意不过多赘述，直接上过程：
由题意得
\[\begin{cases} x\equiv a_1\,(mod\,\, n_1) \\ x\equiv a_2\,(mod\,\, n_2) \end{cases}
\]
展开 得
\[x=k_1· n_1+a_1=k_2· n_2+a_2\dots ①
\]
移项 得
\[k_1· n_1=(a_2-a_1)+k_2· n_2
\]
\[k_1· n_1\equiv a_2-a_1\,(mod\,\, n_2)
\]
令\(d=gcd(n_1,n_2)\)，\(r=a_2-a_1\)。
可知：当\(d\mid r\)时，原式有解。
则有
\[k_1· n_1\equiv r\,(mod\,\, n_2)
\]
\[k_1\frac{n_1}{d}\equiv \frac{r}{d}\,(mod\,\,\frac{n_2}{d})
\]
\[k_1\equiv\frac{r}{d}·(\frac{n_1}{d})^{-1}\,(mod\,\,\frac{n_2}{d})
\]
存在$$k=\frac{r}{d}·(\frac{n_1}{d})^{-1}$$
使
\[k_1\equiv k\, (mod\,\,\frac{n_2}{d})
\]
即$$k_1=R·\frac{n_2}{d}+k\dots②$$
联立①②得
\[x=(k+R·\frac{n_2}{d})· n_1+a_1
\]
\[x=k·n_1+a_1+R·\frac{n_1·n_2}{d}
\]
最后
\[x=y\pmod n
\]
其中$$y=k·n_1+a_1,n=\frac{n_1·n_2}{d}$$
证毕。
有错误的话欢迎大家指出说明ლ(′◉❥◉｀ლ)。
完结撒花
