2432: [Noi2011]兔农 - BZOJ
Description
农夫栋栋近年收入不景气，正在他发愁如何能多赚点钱时，他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。
问题是这样的：第一个月初有一对刚出生的小兔子，经过两个月长大后，这对兔子从第三个月开始，每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子？
聪明的你可能已经发现，第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数，但他也发现了规律：第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为：
1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
栋栋发现越到后面兔子数增长的越快，期待养兔子一定能赚大钱，于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。
每天，栋栋都要给兔子们喂食，兔子们吃食时非常特别，总是每k对兔子围成一圈，最后剩下的不足k对的围成一圈，由于兔子特别害怕孤独，从第三个月开始，如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子，这对兔子就会很快死掉。
我们假设死去的总是刚出生的兔子，那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如，当k=7时，前几个月的兔子数依次为：
1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …
给定n，你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么？由于答案可能非常大，你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。
Input
输入一行，包含三个正整数n, k, p。
Output
输出一行，包含一个整数，表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。
Sample Input
6 7 100
Sample Output
7
HINT
1<=N<=10^18
2<=K<=10^6
2<=P<=10^9
简单题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内
我们要求的数列mod k之后是这样的1，1，2，3....a，0，1*a，1*a，2*a .... b，0，1*b 2*b ... 0
1 a b...这个数列也是有循环节的（可以通过求逆元求出这个数列），这个循环节长度在k以内（可能没有循环，后面mod k都不为1），然后加上矩阵快速幂即可
详细题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内
因为*/%……@%@￥%@￥#%…*&！@￥@￥%&*/@%
你们还是看VFK的吧
1 const 2 maxk=1001000; 3 type 4 matrix=array[1..3,1..3]of int64; 5 var 6 a:array[0..maxk*6]of longint; 7 first,last,b,len:array[0..maxk]of longint; 8 pre:array[0..maxk]of longint; 9 n,k,p,x,y:int64; 10 ans,aa,bb:matrix; 11 12 procedure exgcd(a,b:int64); 13 var 14 t:int64; 15 begin 16 if b=0 then 17 begin 18 if a=1 then x:=1 19 else x:=0; 20 y:=0; 21 exit; 22 end; 23 exgcd(b,a mod b); 24 t:=x; 25 x:=y; 26 y:=t-(a div b)*y; 27 end; 28 29 procedure work; 30 var 31 i:longint; 32 begin 33 a[1]:=1;a[2]:=1;i:=2; 34 while true do 35 begin 36 inc(i); 37 a[i]:=(a[i-1]+a[i-2])mod k; 38 if first[a[i]]=0 then first[a[i]]:=i; 39 if (a[i]=1) and (a[i-1]=1) then break; 40 end; 41 for i:=1 to k-1 do 42 begin 43 exgcd(i,k); 44 pre[i]:=(x mod k+k)mod k; 45 end; 46 b[1]:=1;last[1]:=1;i:=1; 47 while true do 48 begin 49 len[i]:=first[pre[b[i]]]-1; 50 if len[i]<0 then break; 51 inc(i); 52 b[i]:=int64(a[len[i-1]])*b[i-1]mod k; 53 if last[b[i]]>0 then break; 54 last[b[i]]:=i; 55 end; 56 aa[1,2]:=1;aa[2,1]:=1;aa[2,2]:=1;aa[3,3]:=1; 57 bb:=aa;bb[3,2]:=p-1; 58 end; 59 60 operator *(a,b:matrix)c:matrix; 61 var 62 i,j,k:longint; 63 begin 64 fillchar(c,sizeof(c),0); 65 for i:=1 to 3 do 66 for j:=1 to 3 do 67 for k:=1 to 3 do 68 c[i,k]:=(c[i,k]+a[i,j]*b[j,k])mod p; 69 end; 70 71 function f(a:matrix;n:int64):matrix; 72 begin 73 fillchar(f,sizeof(f),0); 74 f[1,1]:=1;f[2,2]:=1;f[3,3]:=1; 75 while n>0 do 76 begin 77 if n and 1=1 then f:=f*a; 78 a:=a*a; 79 n:=n>>1; 80 end; 81 end; 82 83 procedure main; 84 var 85 i,j:longint; 86 s:matrix; 87 sum:int64; 88 begin 89 read(n,k,p); 90 if n<3 then 91 begin 92 writeln(1); 93 exit; 94 end; 95 work; 96 ans[1,1]:=1;ans[2,2]:=1;ans[3,3]:=1; 97 if n>len[1] then 98 begin 99 dec(n,len[1]+1); 100 ans:=ans*f(aa,len[1]-2)*bb; 101 end 102 else 103 begin 104 ans:=ans*f(aa,n-2); 105 n:=0; 106 end; 107 i:=2; 108 while n>0 do 109 begin 110 if pre[b[i]]=0 then 111 begin 112 ans:=ans*f(aa,n); 113 n:=0; 114 break; 115 end; 116 if len[i]<0 then 117 begin 118 ans:=ans*f(aa,n); 119 n:=0; 120 break; 121 end; 122 if last[b[i]]<i then break; 123 if n>len[i] then 124 begin 125 dec(n,len[i]+1); 126 ans:=ans*f(aa,len[i])*bb; 127 end 128 else 129 begin 130 ans:=ans*f(aa,n); 131 n:=0; 132 end; 133 inc(i); 134 end; 135 if n=0 then 136 begin 137 writeln((ans[1,2]+ans[2,2]+ans[3,2])mod p); 138 exit; 139 end; 140 j:=i; 141 sum:=0; 142 fillchar(s,sizeof(s),0); 143 s[1,1]:=1;s[2,2]:=1;s[3,3]:=1; 144 for i:=last[b[j]] to j-1 do 145 begin 146 inc(sum,len[i]+1); 147 s:=s*f(aa,len[i])*bb; 148 end; 149 ans:=ans*f(s,n div sum); 150 n:=n mod sum; 151 i:=last[b[j]]; 152 while n>0 do 153 begin 154 if n>len[i] then 155 begin 156 ans:=ans*f(aa,len[i])*bb; 157 dec(n,len[i]+1); 158 end 159 else 160 begin 161 ans:=ans*f(aa,n); 162 n:=0; 163 end; 164 inc(i); 165 end; 166 writeln((ans[1,2]+ans[2,2]+ans[3,2])mod p); 167 end; 168 169 begin 170 main; 171 end.
