高数——常数变易法的补充

在https://www.cnblogs.com/lookof/archive/2009/01/06/1370065.html该文中讲解了常数变易法的由来——变量代换法。此处略作补充。

一阶线性微分方程： y’＋P(x)·y ＝ Q(x)…….(1)

关键代换是：y=uv，u、v分别是关于x的函数，方程(1)可代换为：u’·v＋u·(v’＋P(x) ·v) ＝ Q(x) ………(2)

此处关键点在于，任意关于x的函数y(x)，可以表示为另外两个关于x的函数,u(x)与v(x)的积。因为v(x)为任意函数，故可以令v’＋P(x) ·v=0，即v(x)满足方程(1)在Q(x)=0时，求其齐次方程，这样可以使得(2)转为：(du/dx)·v(x)=Q(x)，这是一个典型的可分离变量微分方程，求得u。最后可得y=uv。

所谓常数变易法，也是先解出(1)的齐次方程解（即v），再代入其中解出整个y。