【学习笔记】扫描线

一.关于扫描线

　　基础是求周长并和面积并的算法。

　　注意，扫描线是一条不存在的线。

　　假设有一条扫描线从一个图形的下方扫向上方（或者左方扫到右方），那么通过分析扫描线被图形截得的线段就能获得所要的结果。

 

二.扫描线求面积并（由于本人不会做图，以下图片均来自洛谷的题解）

　　我们看一下这个东西。

　　

　　我们模拟一条扫描线，从下到上扫过整个平面。

　　这条扫描线会在遇到横向线段的时候停下来更新一些东西。那么整个图形就可以找出四条线段。

　　如图：

　　我们要更新什么呢？当然是计算线段的长度了。

　　所以我们要记录的第一种东西就确定了。是每条线段的左右端点坐标。

　　然后我们把这些坐标放到一个数组，就叫X[]吧。

　　这个东西是需要排序的。具体原因请往下看。

　　那么我们考虑，在扫描线单调向上的过程中，怎么知道哪里有面积，哪里是空的呢？

　　我们想到一个矩形有上底和下底，在扫描线单调向上的过程中，总是先遇到一个矩形的下底，再遇到上底，然后这个图形的面积就被扫描线扫过了。

　　所以我们要记录第二个东西，给每条横向线段赋上一个权值，如果是下底则赋为1，如果是下底则赋为-1，这样扫描线扫有权值的部分就有我们要计算的面积。

 

　　然后我们考虑面积并的问题，我们知道，两个矩形相交的部分只能计算一次面积。

　　两个矩形相交，一个矩形的横向边上至少有1个另一个矩形边上的点。

　　那么如上图X[1]和X[3]作为左右端点组成的线段可以分成两部分，X[1]和X[2]组成线段和X[2]和X[3]组成线段。

　　这样这个图形就被横向分成了4条横向边3部分，纵向分成4条纵向边3部分。

　　但是扫描线是从下往上扫的，只能处理横向边的分割，纵向边怎么办呢?

　　

　　这时我们可以想到使用线段树。

 

　　我们用线段树的每个节点来储存一条线段，这条线段不一定是一组左右端点截成的，可能是左-左端点或右-右端点，也可能是非同组的左右端点。

　　如下图，我们可以对这个图形像这样建立一棵线段树。

　　对于上面那句话大家可以通过上图很明显地看出来。

　　当一条线段被扫描线扫到的时候，立即更新线段树每个节点维护的线段的覆盖长度和权值。

　　比如扫到最下面这条线段的时候，线段树1,2节点维护的线段覆盖长度和权值就会被更新。

　　扫到下数第二条线段的时候，1,2,3,5,6节点维护的线段覆盖长度和权值就会被更新。

　　那么不难看出线段树所维护的左右节点实际上是线段的编号，另外维护线段覆盖长度和权值。

　　这样扫描线扫有权值的部分就有我们要计算的面积，那么就更新线段覆盖长度。

　　那么对于每一条线段我们也记录它的左右端点和纵坐标以及权值，按照纵坐标优先升序排序，保证扫描线从下向上扫。

　　

　　还剩下一个问题，X[]数组。

　　不难看出这个X[]数组排序的意义是为了方便在线段树更新节点线段覆盖长度的时候直接减就行了。

　　另外，相同的X[]我们其实只需要一个就够了，所以我们要离散化处理。

　　这样最后就可以进行计算面积了。

　　S=Σ线段覆盖长度*扫过的高度，即纵坐标的差。

 

　　代码如下：（我觉得上面没理解透彻的同学看下代码也应该理解得差不多了吧）

　　题目：洛谷【模板】扫描线

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Segment//从下向上的扫描线 那么就是横向的线段 
{
    long long l,r,h;//每一条线段的左端点坐标 右端点坐标 纵坐标。
              //其中纵坐标的意义是在读到它对应的线段 也就是对于一个矩形的下底 读到它的上底时更改val 
    int val;//val的意义就是在下底使这一个线段权值加1 表示扫描线向下扫的时候 保证这条线段的下方是覆盖的
            //那么在遇到上底时权值为-1 也就是说覆盖结束了 
            //对于整个平面 扫描线所加的面积就是扫过的 并且有权值的位置 
    bool operator < (const Segment &k) const
    {
        return h<k.h;
    }//重载运算符 使得纵坐标小的线段 也就是每个矩形的下底优先被扫描线读到 
}Seg[800010];//空间要开足够大 每个矩形最少有两条线段 所以最少应该开两倍 
struct SegTree//线段树部分
{
    int l,r;//线段树的左右节点 分别用来存储 一条横向线段的编号
            //这里注意 线段树每个节点存储的不是线段的左右端点 而是对于一对左右端点截出的线段
            //并且 这里的左右节点并不严格在输入时对应一条线段 但它们之间一定是有一条线段
            /*就比如说 3号节点所存的线段可能是第二条线段的右端点和第三条线段的右端点所截成的线段 
              因为第二条线段和第三条线段的纵坐标相同 所以它们有交集但不完全重合 可能会出现这样的情况*/ 
    int sum;//这里的sum表示线段树节点的权值 也就是说被覆盖的次数
            //但由于是求面积并 所以被覆盖一次还是两次并没有区别 只是有权值和没权值的区别
            //有权值的线段 在扫描线扫过的时候就会计算面积 否则就不会计算面积 
    long long len;//这是每一个线段树节点所代表的线段的长度 计算面积时使用 
}Tree[1600010];//空间要开足够大  一个线段树四倍 最好开到八倍会好一点 
long long X[800010];
long long n,x1,x2,yy,y2,ans;
void Build(int k,long long l,long long r)
{
    Tree[k].l=l;
    Tree[k].r=r;
    Tree[k].sum=0;//扫描线没来之前没有权值 权值变更是在扫描线到达某一条线段时修改 
    Tree[k].len=0;//同上 
    if(l==r)
    {
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    Build(k<<1,l,mid);
    Build(k<<1|1,mid+1,r);
}
void pushup(int k)
{
    int l=Tree[k].l,r=Tree[k].r;
    if(Tree[k].sum)//这就是上面所说的 只有被覆盖和没被覆盖的区别
    {
        Tree[k].len=X[r+1]-X[l];//如果线段被扫描线扫到了 则更新扫到的线段长度 
    } 
    else
    {
        Tree[k].len=Tree[k<<1].len+Tree[k<<1|1].len;//如果没被扫到 则从以前扫过的线段更新 
    }
}
void update(int k,long long L,long long R,int val)//当扫描线扫到一条线段 执行此操作 L,R分别记录线段的左右端点坐标 val代表这是下底还是上底
{
    int l=Tree[k].l,r=Tree[k].r;
    if(X[r+1]<=L || R<=X[l])//要更新的线段不属于这个线段树节点 算是个剪枝吧 
    {
        return;
    }
    if(L<=X[l] && X[r+1]<=R)
    {
        Tree[k].sum+=val;//更新 如果是下底 那么sum就有了值 代表扫描线往上的地方需要计算面积
                         //如果是上底 那么sum不一定没有值 只是减少 代表它对应的矩形面积计算完毕
        pushup(k);
        return; 
    }
    //由于有剪枝 我们就不用判断了 直接修改子树就好了
    update(k<<1,L,R,val);
    update(k<<1|1,L,R,val);
    pushup(k);
} 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&x1,&yy,&x2,&y2);
        X[2*i-1]=x1,X[2*i]=x2;
        Seg[2*i-1]=(Segment){x1,x2,yy,1};//记录线段的信息 
        Seg[2*i]=(Segment){x1,x2,y2,-1};//按照这个操作 开两倍是正常的 
    }
    n<<=1;//线段数是矩形数二倍 
    sort(Seg+1,Seg+n+1);//按照纵坐标升序排序 
    sort(X+1,X+n+1);//相同的横坐标我们只需要一次 
    int cnt=unique(X+1,X+n+1)-X-1;//因此通过离散化来确定不同横坐标的数量 
    Build(1,1,cnt-1);//这里cnt要-1 因为我们cnt代表横坐标的数量 
                     //而线段树存储的是线段数量 根据植树问题 线段数=点数-1
    for(int i=1;i<n;i++) //最后一条边不需要计算和更新了吧
    {
        update(1,Seg[i].l,Seg[i].r,Seg[i].val);
        ans+=Tree[1].len*(Seg[i+1].h-Seg[i].h);//计算面积
    } 
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

 

三.扫描线求周长并

　　待补充~

　　其实可以理解一下 是扫描线左右扫一次和上下扫一次~