「CF1404E」Bricks - 题解

• 前言

  这题和[USACO05JAN]Muddy Fields G非常相似，唯一不同的就是这题覆盖的位置不能相互重叠。

  学习了大佬隐隐约约妖艳的题解，自己做了一些补充。

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• 分析

  类似的，根据横/纵来构造二分图。

  这题的突破点在砖块不能互相重叠，所以对于一个黑色格子，不能同时放 \(2\) 块 \(1 \times x (x>1)\) 的砖块。

  如图：

  

  正因为如此，放横的就不能放竖的，放竖的就不能放横的。此时一个二分图就成形了。如下图：

  

  建好图后，要求的结果就可以转换了，道理类似前言的那题，最后要求的是最多选多少点，且这些点之间没有连边（保证结果最小）。

  即独立集。

  由引理得出结果，二分图的最大独立集 = 总点数-最大匹配数。

  因为这题 \(n,m \le 200\) ，直接跑二分图匹配复杂度似乎会到 \(O(n^2m^2)\) 。所以本题用网络流跑。

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• 代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int Maxn=8e4+5;
const int inf=1e9;
struct edge{
	int v,nx,w;
}e[Maxn<<4];
int n,m,ne=-1,f[Maxn],deep[Maxn];
int cur[Maxn];
char str[205][205];
bool vis[Maxn];
queue<int> q;
void read(int u,int v,int w)
{	
	e[++ne].v=v;
	e[ne].nx=f[u];
	e[ne].w=w;
	f[u]=ne;
}
bool bfs(int s,int t)
{	
	memset(deep,0x7f,sizeof(deep));
	while(!q.empty())q.pop();
	for(int i=0;i<=t;i++)cur[i]=f[i];
	deep[s]=0;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{	
		int now=q.front();
		q.pop();
		for(int i=f[now];i!=-1;i=e[i].nx)
			if(deep[e[i].v]>inf&&e[i].w)
			{	
				deep[e[i].v]=deep[now]+1;
				q.push(e[i].v);
			}
	}
	if(deep[t]<inf)return 1;
	return 0;
}
int dfs(int now,int t,int limit)
{	
	if(!limit||now==t)return limit;
	int flow=0,x;
	for(int i=cur[now];i!=-1;i=e[i].nx)
	{	
		cur[now]=i;
		if(deep[e[i].v]==deep[now]+1)
		{	
			x=dfs(e[i].v,t,min(limit,e[i].w));
			if(!x)continue;
			flow+=x;
			limit-=x;
			e[i].w-=x;
			e[i^1].w+=x;
			if(!limit)break;
		}
	}
	return flow;
}
int dinic(int s,int t)
{	
	int maxflow=0;
	while(bfs(s,t))maxflow+=dfs(s,t,inf);
	return maxflow;
}
int main()
{	
	int s,t,sum=0,cnt=0;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%s",str[i]+1);
	s=0,t=n*m*2+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{	
			if(str[i][j]=='.')continue;
			sum++;
			int uu=(i-1)*m+j,rr=uu+n*m;// uu:id(i,j) rr:id(i,j)_
			int vv=i*m+j,ll=rr-1;// vv:id(i+1,j) ll:id(i,j-1)_
			if(str[i-1][j]=='#'&&!vis[uu])++cnt,vis[uu]++,read(s,uu,1),read(uu,s,0);
			if(str[i][j-1]=='#'&&!vis[ll])++cnt,vis[ll]++,read(ll,t,1),read(t,ll,0);
			if(str[i-1][j]=='#')
			{	
				if(str[i][j+1]=='#')read(uu,rr,1),read(rr,uu,0);
				if(str[i][j-1]=='#')read(uu,ll,1),read(ll,uu,0);
			}
			if(str[i+1][j]=='#')
			{	
				if(str[i][j+1]=='#')read(vv,rr,1),read(rr,vv,0);
				if(str[i][j-1]=='#')read(vv,ll,1),read(ll,vv,0);
			}
		}
	printf("%d\n",sum-(cnt-dinic(s,t)));
	return 0;
}

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\[\text{by Rainy7} \]