「博弈论:巴什+威佐夫+nim游戏」学习笔记
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博弈论有好多好多好多..
整理一下我来写关于巴什博弈,威佐夫博弈+nim游戏
首先先写一些名词：
必败态：即奇异局势，面对这种局势必败。
必胜态：通过合理操作可以变成必胜局。
1.巴什博弈
题面：Alice 和 Bob 玩取石子游戏。他们的游戏是这样的:总共有 n 个石头,每个人每次可以取 1 到 m 个石头,不能不取。最后取完的人获胜。现在Alice 先取,假设双方都采取最好的策略,告诉你 n 和 m,问他是否能赢,如果能,第一次要取几个。
这道题应该算最早接触的博弈，在小学数学课本上的玩意儿。
这题其实就是判断\(n\)是否为\((m+1)\)的
如果先手取\(1\)，那么后手可以取\(m\).
如果先手取\(2\)，那么后手可以取\(m-1\).
如果先手取\(3\)，那么后手可以取\(m-2\).
....
如果先手取\(m\)，那么后手可以取\(1\).
这一样，无论先手取什么，后手都可以将其维护为\(m+1\)
很明显，如果\(n\)为\((m+1)\)的倍数，那么先手必败。
若不是倍数，则先手可以先取\(n\)%\((m+1)\)个，这样，剩下来的石子就为\((m+1)\)的倍数，那么后手无论取几，先手都可以维护为\((m+1)\)个，那么先手必胜。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
if(n%(m+1)==0)
cout<<"No";
if(n%(m+1)!=0)
cout<<"Yes"<<endl<<n%(m+1);
return 0;
}
2.威佐夫博弈
先放上题面：
Alice和Bob玩取石子游戏。他们的游戏是这样的:有两堆数量为 a 和 b 的石头。游戏开始两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两 堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到 Alice 先取,假设双方都采取最好的策略,问最后 Alice 是胜者还是败者。
设\(b>a\)
设\(k=b-a,t=(1+\sqrt{5}\)))
if\(([k*t]==a)\)先手败
else 后手败
状态(奇异局势)\((0,0)(1,2)(3,5)(4,7)(6,10)(8,13)(9,15)(11,18)(12,20)\)...都是先手败
差分别为\(0,1,2,3,4,5,6,7,8....\)
因此判断\(a,b\)的差是否符合上面奇异局势即可
对于奇异局势,有如下公式:
\(a[i]=[i*(1+\sqrt{5})/2],b[i]=a[i]+i\)。(\(k=0,1,2\)..，[]表示取整)
其中,可以判断\(i\)为\(a\),\(b\)的差,即是k
那判断\([k*(1+\sqrt{5})/2)]\)是否为a即可
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{ int a,b,t,k;
while(cin>>a>>b)
{ if(a>b){t=a;a=b;b=t;}
int k=b-a;
if(int(k*(1+sqrt(5))/2)==a)printf("0\n");
else printf("1\n");
}
return 0;
}
3.nim游戏
写这题前先放上异或性质：
1^1=0
0^0=0
1^0=1
A^0=A
A^A=0
A^B^A=A^A^B=0^B=B
丢上题面
甲，乙两个人玩Nim取石子游戏。
nim游戏的规则是这样的：地上有n堆石子（每堆石子数量小于10000），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。
这题好神奇的。
设这些堆分别为:\(a_1,a_2,a_3...a_n\)
若\(a_1\)$a_2$\(a_3\)...\(a_{n-1}\)^\(a_n==0\)则先手败
否则先手胜。
证明一下叭：
首先，若所有都为\(0\)，那么\(0\)$0$\(0\)...^\(0=0\)
否则：
这些堆当中设所有的异或和为\(k\)。设\(k\)的最高位为\(i\)，那么一定有个数第\(i\)位是\(1\)，而假设这就是\(a_1\)。再设除了\(a_1\)其他的异或和为\(x\),则：\(a_1\)^\(x=k\)。且\(x\)没有第\(i\)位。
然后把\(a_1\)^\(k\)。
这时,\(a_1\)$k$\(x\)=\(a_1\)$x$\(k=k\)^\(k=0\)
若这时\(k=0\),那么怎么变动都不可能异或和为\(0\)了。
\(pia\)上代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int T,n,x;
int main()
{ scanf("%d",&T);
while(T--)
{ int ans=0;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{ scanf("%d",&x);
ans^=x;
}
if(!ans)printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
return 0;
}
阶梯nim
送上题面先：
有n个位置1...n，每个位置上有ai个石子。有两个人轮流操作。操作步骤是：挑选1...n中任一一个存在石子的位置i，将至少1个石子移动至i−1位置（也就是最后所有石子都堆在在0这个位置）。谁不能操作谁输。求先手必胜还是必败。
其实这个结果只跟奇数阶梯上的石子有关。
如果先手把偶数阶梯的若干石子往下移，那么后手也会相应把这堆石子继续往下移，直到\(0\)，然鹅这样并不会改变什么，只会改变石子的数量。
如果先手吧奇数阶梯的若干石子往下移，那么当这堆石子到\(0\)的位置时，变成之前的后手先移其他的了。
所以，这题只要把奇数阶梯上的石子走一遍nim即可。
by Rainy7
