NOIP 提高组 题解

NOIST2023

涂色游戏

对于每一行每一列记录一个时间戳，对于每个格子颜色即为时间戳较大的颜色。

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幂次

考虑暴力，我们发现 \(O(\sqrt[3]{n})\) 的复杂度是可以接受的，所以可以枚举 \(\sqrt[3]{n}\) 内的数然后暴力往上乘，可以用一个 unordered_map 判重，时间复杂度大概为 \(O(\sqrt[3]{n} + \log_2n + \log_3n+..\log_{\sqrt[3]{n}}n)\)，不是很大。

虽然看起来就很不会炸，但还是计算一下吧。

\[\sum_{i = 1}^{\sqrt[3]{n}}\log_i{n} < \sqrt[3]{n} \times \log_2n \]

所以复杂度即为 \(O(\sqrt[3]{n} \times \log_2n)\)。

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圣诞树

首先可以简单证明路径交叉一定不优。

路径 \(A \to D \to B \to C\) 一定劣于 \(A \to B \to D \to C\)

证明：
\(AD + DB + BC > AB + BD + DC\)

\(AE + ED + BE + EC > AB + DC\)

\(\because EC + ED > CD, AE + BE > AB\)

\(\therefore AD + DB + BC > AB + BD + DC\)

然后就发现我们的路径实际上的形态一定是类似于从最高点开始，两边来回折返，并且中间穿插了一些在一侧方向的连续段。

于是我们设置 \(f_{l, r, 0/1}\) 表示最高点左侧有 \(l\) 个点，最高点右侧有 \(r\) 个点，当前在左 / 右侧的最小距离和。

为了记录方案，我们还需要记录每个状态的前驱然后从终点状态往回跳。对于转移，考虑枚举当前在哪一侧然后枚举下一个的点在同侧还是在异侧。

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NOIP2009

细胞分裂

注意到幂次不会导致质因子增加，而均分的要求又是对应的每项质因子次数都大于等于，因此对于每个数质因数分解然后算是算出最大的 \(\dfrac{\alpha_im_2}{\beta_i}\)，即可。

复杂度 \(O(n\sqrt{m})\)。

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NOIP2011

聪明的质监员

注意到 \(y\) 随 \(W\) 单调，二分后用前缀和暴力处理即可。

复杂度 \(O(n \log n)\)。

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NOIP2018

货币系统

一个看起来很显然的结论，但是看题解区都在证明（）看来都很严谨。

一个数字会被删除，当且仅当它可以由若干种其他面额的纸币组合得到，因为如果可以得到那么把它删除用组合替代，一定会使得新的集合更小。

背包处理能够得到的面值。

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旅行

字典序这个东西是很好贪心的，考虑对每个结点的儿子排序，直接从 \(1\) 直接开始贪就结束了。

考虑基环树，我们发现基环树上一定有一条边不会被经过，枚举这条边之后做树的贪心即可，复杂度 \(O(n^2)\)，常数略大，需要提前预处理出环上的点是什么，可以考虑拓扑排序。

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NOIP2020

排水系统

考虑直接 topsort，然后模拟污水流的过程，写一个分数合并就结束了。

但是分数合并会爆 LL ，需要开 __int128。

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NOIP2021

报数

考虑一种类似于埃式筛的东西筛出每个数字是否合法，之后递推出答案 \(O(1)\) 回答。

数列

考虑 dp，我么设状态 \(f_{i, j, k, u}\) 表示讨论 \(S\) 的前 \(i\) 位，选了 \(j\) 个 \(a_i\)，二进制中实际上，也就是表现出来的 \(1\) 数量为 \(k\)，且当前要向下一位进 \(u\) 个 \(1\) 的总贡献。

对于转移，我们考虑枚举当前这位有 \(v\) 个 \(1\)，那么总共选了 \(j + v\) 个 \(a_i\)，表现出来的数量为 \(k + (u + v) \& 1\)，进下一位的为 \((u + v) \bmod 2\)。我们此时考虑新加的贡献，我们每一种方案里都有 \(w_i^v\)，总共有组合数种方案，那么转移即为

\[f_{i + 1, j + v, k + (u + v) \& 1, (u + v) \bmod 2} = f_{i, j, k, u} + w_i^v \times \binom{n - j}{v} \]

对于答案的计算，因为实际表现出来的 \(1\) 数量无关紧要，并且再往后进的数量也是无关紧要的，所以直接枚举，然后计算即可。

需要注意，当 \(k + popcount(u) > K\) 时，不能计算答案，因为我们最终的 \(S\) 的二进制表示下有了多于 \(K\) 个 \(1\)。

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NOIP2022

种花

观察发现，C 和 F 的区别在于 F 在 C 下面接了一段，这个东西的方案数如果我们确定了这个 C 长什么样子就好求了，所以我们先来看 C。

对于 C，我们可以考虑枚举左下角的点，然后前缀和计算一些方案数。（默认下文左下角为 C 的左下角。）

如果我们设

• \(r_{i, j}\) 表示以 \((i, j)\) 为左下角时往右最大能扩展的长度。
• \(u_{i, j}\) 表示以 \((i, j)\) 为左下角时 C 的竖和上横的方案数。
• \(d_{i, j}\) 表示以 \((i, j)\) 为左下角时，往下能扩展的最长长度。

很好递推。

\[r_{i, j} = \begin{cases} \end{cases} \]