2023-10-26 模拟赛

C

很久没见到过这么清晰的讲题人了。

我们先来考虑一些边界情况。

全是 \(0\) 时

这个时候其实就是划分成至少 \(k\) 段的方案数，组合数计算即可。答案大概为

\[\sum_{i = k - 1}^{n}\binom{n - 1}{i} \]

存在前导零长度大于等于 \(k - 1\) 时

例如 001111 想分成至少 \(3\) 段，发现仅仅是开头的 00 就已经可以分出去两段了，这个时候我们把最后的一段直接分给除前导零外的段即可。最大值即为除去前导零的剩余段，方案数可以组合数计算，设前导零长度为 \(c(c \ge k - 1)\) 则答案大致为

\[\sum_{i=k-1}^c\binom{c-1}{i}\]

事实上，第一种情况就是第二种情况中 \(c = 0\) 时，这里拿出来单独讨论了。

一般情况

实际上，这里的 一般情况 指的就是前导零不够分的时候。我们可以从前导零够分段的情况获得一些启示，显然分开算两段一定是没有合在一起算好的。

还是简要证明一下吧。

考虑两个二进制数 \(A, B\)，如果分开算的话，和为 \(A+B\)，如果合到一起算的话和为 \(A \times 2^{|B|}+B\)。结论显然。

根据上面的证明，我们一定是要从前 \(c(0 \le c < k - 1)\) 个前导零中分出尽量多的段出来，则 \(k' = k - c, n' = n - c\)。

这一部分的方案数就是 \(1\)，我们已经确定了每一位单独一段。

问题进行了转化，我们有一个第一位为 \(1\) 的二进制串，根据我们上面的证明，我们分段的策略也仍然是分出 \(k'- 1\) 段长度为 \(1\) 的段和一段长度为 \(n' - k' + 1\) 的段，我们考虑它答案的形式。

令当前选择的大段为 \(S\)，那么整段的答案变为 \(S - \text{popcount(S)} + c\)，后面这个 \(c\) 实际上就是整段的 \(1\) 数量，将 \(S\) 内计入大段的 \(1\) 减掉即为长度为 \(1\) 的 \(1\) 的贡献。

问题来了，关于方案数，我们是否可以对当前的 \(S\) 进行一些小变化使得答案还是最大的。

考虑当 \(S\) 的末尾为 \(1\) 时，如果这一位变成了 \(0\)，\(S \to S - 1, \text{popcount(S)} \to \text{popcount(S)} - 1\)，\((S - 1) - (\text{popcount(S)} - 1) = S - \text{popcount(S)}\)，答案没有任何变化。

注意，当 \(n = k\) 时，答案为 \(\text{popcount(S)}\)，方案数为 \(1\)。