关于傅里叶变换中变量代换的理解

关于傅里叶变换中变量代换的理解

问题

首先给出傅里叶变换对的公式：
\(\left\{\begin{matrix}X(jw)=\int x(t)e^{-jwt}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(jw)e^{jwt}dw\end{matrix}\right.\)
提出几个问题

1. \(x(at)\)与\(x(t)\)的傅里叶变换关系
2. \(\left\{\begin{matrix}F(u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\int F(u)e^{j2\pi ut}du\end{matrix}\right.\)该公式是否成立？如何得到呢？

问题1

这里先要搞懂，傅里叶变换的形式事实上是
\(\left\{\begin{matrix}X(jw)=F(x(t))\\ x(t)=F^{-1}(X(jw))\end{matrix}\right.\)，
变换的作用对象是\(x(t)\)，即函数本身，观察一下傅里叶变换公式，可以发现里面的\(e^{jwt}\)也存在\(t\)，但这个\(t\)是等式里的\(t\)，当我们求一个函数的傅里叶变换时，这个\(t\)是不应代换的。
原因就是因为我们求的是函数的变换，而变换的作用对象就是函数本身，所以我们要代换的是函数本身，而不是函数的变量，比如说我们可以令函数\(g(t)=x(at)\)，那么\(g(t)\)的傅里叶变换应为\(G(jw)=\int g(t)e^{-jwt}dt=\int x(at)e^{-jwt}dt\)。
这样一来，\(x(at)\)的傅里叶变换就为\(G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt\)，注意这里为了区分使用了\(G(jw)\)为\(x(at)\)的傅里叶变换，而\(x(at)\)的傅里叶变换为\(X(jw)\)
我们观察一下\(G(jw)\)与\(X(jw)\)，现在我们对等式变量进行变换，有\(G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt\)，令\(at=\tau\)则\(G(jw)=\frac {1}{|a|}\int x(\tau)e^{-\frac {jw\tau}{a}}dt\),注意这存在绝对值，是因为定积分微分变量换元时，需要考虑上下限的变换，所以\(G(jw)=\frac{1}{|a|}X(\frac {jw}{a})\)。

问题2

这个式子其实就是简单的变量代换，注意这里是对等式而言的，并不像上面，是对\(x(at)\)进行傅里叶变换。
令\(w=2\pi u\),则有
\(\left\{\begin{matrix}X(j2\pi u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(j2\pi u )e^{j2\pi ut}d2\pi u=\int X(j2\pi u)e^{j2\pi ut} du\end{matrix}\right.\)
令\(F(u)=X(j2\pi u)\)，即可完成该等式的证明。

总结

其实在对傅里叶变换对进行变量代换的时候，要考虑清楚到底是对等式进行变换，还是求某个函数的傅里叶变换，
前者就直接对等式进行变量代换，后者就按傅里叶变换进行函数代换。