信号与系统 总结与理解

信号与系统 总结与理解

线性时不变系统

讨论信号，我们先得找个理想的环境，而又得和实际有比较相符，相差不能太大，于是就有了线性时不变系统，我们设输入信号为\(x(t)\),输出信号为\(y(t)\)，如果一个系统能满足：

• 输入信号为\(ax_1(t)+bx_2(t)\)，输出信号为\(ay_1(t)+by_2(t)\)（线性）
• 输入信号为\(x(t-m)\),输出信号为\(y(t-m)\)(时不变性)

则称该系统为线性时不变系统。
其实个人认为，线性时不变系统其实是实际中的各种系统的一个抽象，比如简单的电路系统，简单的声音处理系统等等，所以先研究线性时不变系统还是挺具有意义的。

信号的分解

首先来看，对于任意一个信号，我们希望用一种基本信号来将其表示，
先看离散时间信号\(x[n]\)：
我们定义\(\delta[n]=\left\{\begin{matrix}1(n=0)\\0(其他)\end{matrix}\right.\)，我们令\(m[n]=x[k]\delta[n-k]\)，注意此处\(m[n]\)的变量是\(n\)，所以\(m[n]\)是一个信号，又\(x[n]=\sum_k m[n]\)，即\(x[n]=\sum_{k=-\infty }^{k=+\infty}x[k]\delta[n-k]\)，如此一来，我们就将任意一个信号用\(\delta[n]\)分解了。
再看连续时间信号\(x(t)\):
我们先定义以\(\Delta\)间隔取样的阶梯信号\(\widehat{x(t)}\)，又定义
\(\delta_\Delta[t]=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\Delta}(0<t\leqslant \Delta)\\0(其他)\end{matrix}\right.\)，则\(\widehat{x(t)}=\sum m(t)=\sum x(k\Delta)\delta(t-k\Delta)\Delta\)，又\(x(t)={lim}_{\Delta \to 0}\widehat{x(t)}={lim}_{\Delta \to 0}\sum x(k\Delta)\delta(t-k\Delta)\Delta=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\)，同理我们也可将\(m(t)=x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\)看成一个信号，不过这种信号由于带微分，可以理解\(\delta(t-\tau)d\tau=1(t=\tau)\)，如此一来，便能与离散信号相对应了。

冲击响应与卷积

上面谈到了任何一个信号都可以用\(\delta\)信号分解，那么也就意味着对于一个线性时不变系统而言，我们只要得到其对\(\delta\)信号的响应，那么我们就能够得知任何一个信号的响应，而系统对\(\delta\)信号的响应称为冲击响应。
我们设离散系统的冲击响应为\(h[n]\)，则由线性时不变系统的定义可得，\(m[n]=x[k]h[n-k]\)为信号\(x[k]\delta[n-k]\)的响应，所以对应地有\(y[n]=\sum_k x[k]h[n-k]\)，将这个式子定义为卷积，即\(y[n]=x[n]*h[n]=\sum_k x[k]h[n-k]\)，连续时间系统有\(y[t]=x(t)*h(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)d\tau\)。
对于卷积这个式子我们可以有两种方式来理解：

• \(m[n]=x[k]h[n-k]\)，n为变量，则\(m[n]\)为一个信号，\(y[n]\)是一系列的信号的叠加。
• \(m[k]=x[k]h[n-k]\)，k为变量，对于n的每一个取值，都是\(m[k]\)函数的求和。

其实两种方式分别是横向和纵向的理解，前者由一系列信号叠加，直接得到\(y[n]\)，这是横向理解，而后者我们先得到\(y[n]\)的每一个值，然后组成\(y[n]\)，这是纵向的理解。
对于离散时间系统可以有两种方式来理解和求解卷积，而在连续时间系统，由于存在微分，理解上仍然可以，但求解就比较倾向于后者了。

傅里叶级数

继续说说信号分解的问题，上面用\(\delta\)信号来分解了信号，但是可以发现，这种分解方式其实还是比较初级，是一种直观上的分解，如果我们从这个角度来进行信号的处理，其实就是在时间域上的处理，这里我们换一种信号来合成其他信号，这里我们选用\(e^{jwt}\)。
为什么要选用它呢？这是一个很关键的问题，这里有，如果一个信号经过一个系统后，其输出信号只是输入信号乘上一个常数（可为复数），那么就该信号称为系统的特征函数，常数为特征值，对于线性时不变系统而言，指数函数\(e^{st}\)和\(z^n\)就是一个特征函数，简单证明一下，线性时不变系统有冲激响应\(h(t)\)
，\(y(t)=\int h(\tau )e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}\int h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\)，所以\(e^{st}\)为特征函数。
傅里叶级数是这样的，一个周期信号可以用一系列的\(e^{jwt}\)来表示，暂且不考虑一些特殊的信号，在实际中遇到的周期信号都能采用这种方式分解。给出分解方法：
\(\left\{\begin{matrix}x(t)=\sum a_ke^{jkw_0t}\\ a_k=\frac{1}{T}\int x(t)e^{-jkw_0t}dt\end{matrix}\right.\)其中\(w_0= \frac{2\pi}{T}\)为角频率。