JOISC 2022 飞机旅行

一个基础做法

Alice 给点标号，Bob 可以传一个 \(2^{20}\) 的信息给 Alice，意味着 Alice 只能知道点的部分信息，然后根据部分信息得把剩余需要的信息传给 Bob。

考虑树分块，子树大小 \(\ge 7\) 的时候就划为一块，由于是二叉树（一开始以某个 \(\le 2\) 度点为根），那每个子树的大小在 \([7,13]\) 之间。

得到的块数为 \(c \le \lceil \frac n7 \rceil = 1429\)，Bob 传两个点所属于哪两个块的信息，需要 \(\frac{c(c+1)}{2}=1021735 < 2^{20}\) 的信息，这是足够的。

Alice 把两个块的树形态传给 Bob（这可以双方先预处理所有的树形态，把每个树压缩成一个 ID），如果不在同一个块，还需要传两个块的界点是什么，两个界点之间的距离。

而 Alice 能传的信息个数是 \(\sum_{i=1}^{l} 2^i = 2^{l+1}-2\)。

优化

上述做法还有很大的优化空间！

优化 1

两人实际上不需要对 \([7,13]\) 的所有树都给一个 ID，只需要标号大小为 \(13\) 的树，Alice 传的时候，可以把更小的树加一些点变成大小 \(13\) 的树，然后只要传这个树的 ID。

进一步的，我们发现 Alice 并没有用满 \(2n+19\) 的标号空间，因为现在点的最大标号是 \(\lceil \frac n7 \rceil \times 13\)，但我们可以用到 \(\lceil \frac n7 \rceil \times 14\)。

实际上，可以把大小为 \(13\) 的所有树再加一个点，也就是用若干个大小为 \(14\) 的树覆盖它们。

由于大小为 \(13\) 的树的形态只能是根节点连两个大小为 \(6\) 的儿子，我们通过 \(28\) 棵大小为 \(14\) 的树就覆盖了它们。

具体的，大小为 \(14\) 的树形态是：一边儿子大小为 \(6\)，一边儿子大小为 \(7\)。只需要构造大小为 \(7\) 的树覆盖大小为 \(6\) 的树。

优化 2

我们真的关心整个树的形态吗？实际上，Alice 传 (树，界点) 的信息，Bob 只要知道界点到任意其他点的距离。

所以可以把 (树，界点) 的信息变成只传界点到其他点的 dis 数组。

优化 3

两个块的形态只可能是：

• 祖先-后代，这样一个界点为根，一个界点不确定
• 否则，两个界点都是根

在第一个情况下，“界点不确定”的那个界点一定只有 \(\le 1\) 的儿子，所以树上有 \(2\) 个儿子、且不是根的点可以不算。如果对于所有 \([7,13]\) 的树都可以不算，那这个点就可以不算进 dis 数组。

设界点为根的不同 dis 数组为 \(B_1\)，界点不为根（且可能成为界点）的 dis 数组为 \(B_2\)。那这两部分只要传 \(B_1B_2 n+B_1^2 n\) 的信息。另外前面两个点在同一块内还有不同树个数的信息（只有 \(28\) 种）。

调整一下大小为 \(14\) 的树的顺序，可以得到 \(B_1=21,B_2=270\)。

优化 4

现在的做法已经能获得 \(99\) 分了。

如果我们枚举一个 \(\text{deg}\le 2\) 的点为根，最小化它到叶子节点的距离。我们发现这个距离是 \(\le \frac n2\) 的。

而在 祖先-后代 的情况里的 \(B_1B_2 n\) 个信息就可以优化成 \(B_1B_2 \frac n2\)。这样信息数量减半，可以获得 \(100\) 分。