一些（构造）题

不会写标题了（（

Y-Shaped Knife

(from Petrozavodsk Winter 2020. Day 4. Yandex Cup 2020. A)

假设我们固定了 Y 形的角度为：一定有一条平行于 \(y\) 轴的竖线。

假设从左到右枚举了竖线的 \(x\) 坐标，把所有点按照 Y 形剩下两条斜线的角度投影到竖线上。（可以先把所有点随机旋转一个角度来避免投影后坐标重合。）

在竖线上找到上 \(\frac{2}{3} n\) 与下 \(\frac{1}{3} n\) 的分界点，则要求上 \(\frac{2}{3} n\) 恰好有 \(\frac{1}{3} n\) 个来自左边/右边。

可以发现，随着 \(x\) 从 \(-\infty\) 变大到 \(\infty\)，左边的点数从 \(0\) 逐渐变大到 \(\frac{2}{3} n\)，于是可以二分一个合法的 \(x\)。

Anti-stress

(from Petrozavodsk Winter 2022. Day 5. Yandex Cup. F)

考虑画一个十字形，把第 \(1,3\) 象限和第 \(2,4\) 象限分别匹配，红点是 \((0,0)\)，如果蓝点和黄点的数量匹配就匹配成功。

如果确定了十字形的角度，那么两条分割线的位置是确定的（必须把点分成两半），因此可以 check 一个角度是不是可行的。

这样分点之后，第一象限点数 = 第三象限点数，第二象限点数 = 第四象限点数。

设差值 \(c\) 为 第一象限蓝点数 - 第三象限黄点数。则 \(-c\) 为 第二象限蓝点数 - 第四象限黄点数。

若 \(c=0\) 则找到了能匹配成功的角度。

考虑角度从 \(\alpha = 0\) 转到 \(\alpha = \frac{\pi}{2}\)，那差值会从 \(c\) 变到 \(-c\)，并且在转动过程中每次只会 \(\pm 1\)，一定有一个角度差值为 \(0\)。

二分求这个角度即可。具体的，假设 \(c_l > 0, c_r < 0\)，我们求出 \(c_{mid}\)，不断取 \(c_l \times c_r < 0\) 的区间。

算 \(c_{\alpha}\) 需要排序，时间复杂度 \(O(n\log n\log V)\)。（也可以 nth_element，\(O(n\log V)\)）