MITIT 2024 Spring Invitational Finals

A. Distance Mod 5

考虑一个点 \(x\) 向外的最短路树，如果两个点不满足 \(dis_{i,x} = (dis_{j,x} + 1) \bmod 5\) 或 \(dis_{j,x} = (dis_{i,x} + 1) \bmod 5\)，那么这两个点一定没有连边，否则可能有连边。

去除掉所有不可能的连边，剩下的连上边（要同时满足 \(dis_{i,j} = 1\)），发现这样是最优的。然后 floyd check 一下是否满足要求，复杂度 \(O(n^3)\)。

B. Two Tokens

考虑 \(1\) 和 \(2\) 两个点不断扩展，会得到一个当前走到的集合。

如果这个集合不能再扩展，那集合外的点要满足：与集合中的点都有连边 或 都没有连边。

打了一下暴力验证发现是充要条件：如果找到一个包含 \(1,2\) 的集合满足上面的性质，则不能完全染色，否则可以。

枚举这个集合大小并容斥即可，复杂度 \(O(n^2)\)。

C. Cycling Competition

考虑询问能得到的信息是：得到最大值的位置，以及剩下序列的大根笛卡尔树。

假设当前笛卡尔树只包含两条链，我们将一条链从大到小、一条链从小到大排，询问一次就可以归并两条链。

现在假设笛卡尔树被剖分成了 \(k\) 条链（具有 \(k\) 个叶子），我们依次将链从大到小、从小到大交替排，询问一次后得到的笛卡尔树就只剩下 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 条链。

最优的询问次数是 \(\log_2(n-1)\)。

D. Cycle Constrained Graph

考虑怎么利用模 \(P\) 的性质。

考虑把点按照 \(P\) 个分一组，分成 \(n\) 组。

假设把第一组的点编号修改成 \(i \to (i+1) \bmod P\)，那么如果形成的图不一样，循环 \(P\) 次得到的都是合法方案。这 \(P\) 个方案会在 \(\bmod P\) 下抵消，可以不用考虑。

于是剩下的情况下，剩下每个点向第一组的点要么都连边，要么都不连边。同时第一组的点内部也不能有边，不然直接出现了长度为 \(P\) 的环。

然后再归纳第二组点，剩下的点到第二组点的连边情况也要相同，否则在 \(\bmod P\) 下抵消。

于是最后要统计的方案为：每两组点之间的连边情况相同。

把每组点缩成一个，问题转化为：在图中没有 \(\le P\) 长度的奇环。（如果有，就可以在环中每次增加两个点，成为 \(P\) 长度的环）

对于 \(n<P\) 就是有标号二分图计数。时间复杂度 \(O(P^2)\)。

对于 \(n\ge P\)，打表发现 \(ans(n)=ans(n-(P-1))\)。证明可以再把开头 \(P\) 个点分一组，后面的点必须和这 \(P\) 个点连边情况相同，于是可以把 \(P\) 个点缩成 \(1\) 个。

E. Avoid XOR Zero

这个题是打表做出来的，所以写的不太严谨。

通过打暴力发现，unavoidable 的序列是非常少的。考虑 unavoidable 需要什么性质。

设 \(x_i = b_i \oplus c_i\)。我们要求不管怎么选，\(x_i\) 的线性基都能表示出 \(b_i\) 的异或和。

可以证明 \(x_i\) 在最低的若干位必须形成满秩的线性基。可以考虑调整 \(b_i\)，证明每个 \(2^p\) 都需要被线性基表示。

我们发现，如果一个数形如 ???0111 的话，不管怎么分，\(x_i\) 都为 ???0111. 可以用若干个这样的数组成低位的线性基。

最终合法的方案形如：

先取若干个数，形成最低位的线性基
00 ???01
00 ??011
00 ?0111
00 01111
00 11111

剩下的数都要 <=
01 11111

枚举线性基的最高位，然后 dp 即可。复杂度 \(O(n^4)\)。