ATC 题目记录

咕咕咕

ARC 120 F1

场上一直尝试做 \(n^2\) 式子就没想出来。

序列， \(n\) 个位置染 \(m\) 个黑色，要求黑色不相邻，方案数 \(\dbinom{n-m+1}{m}\)

现在想要统计贡献。假设序列里第 \(i\) 个位置被占了，那么要把序列剩余的首位相接变成一个环（关键，没想到）。然后就是环上方案数 + 首尾染成黑色的，首尾染成黑色的就是更小的环。

环上方案数 = \(\dfrac{y}{x}(F(x-1,y)+F(x-3,y-1))\)

注意细节，比如 \(n=9,k=5\) 中间的要置为 1

ARC 120 F2

还在鸽。

看起来挺有意思的题，也许补一下/se

考虑 \(D\) 更大的情况。还是考虑拼接。

AGC 032 F - One Third

首先是神仙转化：把每一条变成 3 条红绿蓝的线。根据第一条线的 3 根分成 3 个 1/3 ，问题变成

在 [0,1/3) 中随机取 n-1 个点，然后将每个点随机染成红绿蓝三种颜色中的一种，求两端颜色不同的线段长度的最小值的期望

在 [0,1) 上随机取 n-1 个点，把线段分成了 n 段中所有段长度的最小值的期望是 \(\frac{1}{n^2}\) 。

\(P(L_{min}\geq x)=(1-nx)^{n-1}\) 然后积分。

还可以得到：第 k 短的长度的期望为

\[E(L_k)=\frac{1}{n}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\cdots +\frac{1}{n-k+1}) \]

枚举第几短，推推式子。

ARC 089 D - Coloring Balls

神仙计数题。