ZOJ3820 Building Fire Stations 题解

ZOJ3820 Building Fire Stations 题解

题目链接

原 OJ（卡空间）：https://pintia.cn/problem-sets/91827364500/exam/problems/91827369872

或者 Codeforces GYM（空间足够）：https://codeforces.com/gym/100554/problem/B

有翻译＋我自己出的数据（不卡空间）：https://www.luogu.com.cn/problem/U370080

题目简述

一棵树，在其中找两个点，使得其他点到这两个的距离的较小值的最大值的最小值及其方案。

分析

先考虑选一个点的情况

树的中心模板，可以见我的帖子：https://www.cnblogs.com/RainPPR/p/tree-dp.html

两个点呢

假设我们已经选出了两个点 \((a,b)\) 那么，显然，树中所有的点要么去 \(a\) 要么去 \(b\)，且一定有一条边作为分界线；即有一条边 \((p,q)\) 其两边子树中的点，都去 \(a\) 或都去 \(b\)；且点 \(a\) 和点 \(b\) 一定不在同一棵子树中。

因此，我们就可以选点 \(a\) 为 \(p\) 一侧的子树的中心，点 \(b\) 为 \(q\) 一侧的子树的中心。然后考虑 \((p,q)\) 怎么选？（感性理解）可以大胆猜测，边 \((p,q)\) 一定是树的直径中，中间的那一条边！

为什么呢？与我在上面那篇帖子中树的中心的证明类似：一棵树上到点 \(x\) 最远的点一定是其直径 \((S,T)\) 的一个端点，根据三角不等式 \(\text{dis}(S,x)+\text{dis}(x,T)\ge\text{dis}(S,T)\)，所以 \(\max\{\text{dis}(S,x),\text{dis}(x,T)\}\ge\frac{1}{2}\text{dis}(S,T)\)，而等号是在 \(x\) 为 \((S,T)\) 中点时取到。

我们可以得出：\(\max\{\text{dis}(S,p),\text{dis}(q,T)\}\le\frac{1}{2}\text{dis}(S,T)\quad(\text{map}_{p,q}=1)\)，因此有 \((p,q)\) 是 \((S,T)\) 上最中间的一段。

证明结束。

程序

注意，原数据会爆栈，所以不能用 DFS，可以换成 BFS（但是 Codeforces GYM 上空间加了一倍，到了 \(256\text{ MB}\)，这就卡卡能过了）。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define rr read()
inline int read() {
    int num = 0, flag = 1;
    char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') flag = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) num = num * 10 + ch - '0';
    return num * flag;
}
 
#define tp(t) template<typename t>
 
#define max _max
tp(t) inline t _max(const t a, const t b) { return a > b ? a : b; }
#define min _min
tp(t) inline t _min(const t a, const t b) { return a < b ? a : b; }
#define abs _abs
tp(t) inline t _abs(const t x) { return x < 0 ? -x : x; }
 
using pii = pair<int, int>;
using tii = tuple<int, int>;
 
const int N = 2e5 + 10;
 
int n;
vector<int> g[N];
 
void add(int u, int v) { g[u].push_back(v), g[v].push_back(u); }
 
int lc, rc;
int d[N], f[N];
 
#define get find_bfs::find  // 在这里切换 DFS 和 BFS
namespace find_bfs {        // 返回距离 u 最远的点
    pii q[N]; int st, ed;
    int find(int u) {
        d[u] = 0, f[u] = -1; st = 0, ed = 0, q[ed++] = {u, -1};
        int c = u; while (st < ed) {
            pii now = q[st++]; int u = now.first;
            for (int v : g[u]) if (v != now.second) {
                if ((u == lc && v == rc) || (u == rc && v == lc)) continue;
                q[ed++] = {v, u}; f[v] = u;
                if ((d[v] = d[u] + 1) > d[c]) c = v;
        }} return c;
    }
}; namespace find_dfs {     // 返回距离 u 最远的点
    int c; void dfs(int u, int fa) {
        for (int v : g[u]) if (v != fa) {
            if ((u == lc && v == rc) || (u == rc && v == lc)) continue;
            if ((d[v] = d[u] + 1) > d[c]) c = v; dfs(v, u); f[v] = u;
    }} int find(int u) {
        d[u] = 0, f[u] = -1, c = u;
        dfs(u, -1); return c;
    }
}
 
int main() {
    int T = rr; while (T--) {
        n = rr; for (int i = 1; i < n; ++i) add(rr, rr);
        lc = rc = -1; int s = get(1), e = get(s);
        lc = e, rc = f[e]; for (int i = 1; i < d[e]; i += 2) tie(lc, rc) = make_tuple(rc, f[rc]);
        int le = get(get(lc)), ls = d[le] + 1; for (int i = d[le]; i > 1; i -= 2) le = f[le];
        int re = get(get(rc)), rs = d[re] + 1; for (int i = d[re]; i > 1; i -= 2) re = f[re];
        printf("%d %d %d\n", max(ls, rs) >> 1, le, re);
        for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) g[i].clear();
    }
    return 0;
}