AT_abc325_e Our clients, please wait a moment 题解

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Date 20231024：请注意原题未说明清楚的，是走到的每一条边，都需要按照给出的公式计算。

这里介绍两种算法：「最短路＋枚举」以及「分层图最短路」。

Solution 1：最短路＋枚举

注意到，\(n\le1000\)，那么我们就可以 \(\mathcal{O}(n)\) 的枚举「在哪一个城市换成火车」。

特别的，如果在 \(1\) 号城市换乘火车，说明没有乘坐汽车；如果在 \(n\) 号城市换成火车，则说明没用乘坐火车。

也就是将一条路径 \(1\rightarrow k_1\rightarrow k_2\rightarrow\cdots\rightarrow n\)，分为两条路径，前面的部分乘汽车，后面的部分乘火车。

注意：原图是无负边权稠密图，因为 \(m=\frac{n(n-1)}{2}\)，所以最好使用「朴素版 Dijkstra」。但是我不会写，所以顺手写了一个「堆优化 Dijkstra」。

Dijkstra 算法：求解单元最短路，即从 原点 出发，到其他所有点的最短距离；适用于 没有负权边，即所有边的长度都是正数。

思路：设集合 \(S\) 为已经求解出最短路的点集，从原点出发，每次选一个距离这个点集最近的点，加入点集 \(S\)，并用这个点更新所有与它有直接连边的点。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc325/submissions/46895951

Solution 2：分层图最短路

只有一次换乘的机会，所以我们可以跑分层图最短路。

建两层图，每一层都有 \(n\) 个点（可以形象的理解为「第一层是在汽车站，第二层是在火车站」）。

注意：分层图最短路，一般来说第 \(i\) 层的编号从 \(n\times(i-1)+1\) 开始编号，即第 \(1\) 层从 \(1\) 开始，第 \(2\) 层从 \(n+1\) 开始。

除了初始在两层图上独立的边 \((u,v)\)、\((u+n,v+n)\)，然后额外连边 \((i,i+n)\)，即从第一层的点 \(i\) 连到第二层的点 \(i+n\)，边权为 \(0\)（表示「从汽车站到火车站不需要花费时间」，题目给出，说明出题人可以瞬移）。

然后就可以从 \(1\) 号点开始跑「最短路」，然后结果取 \(\min\{\mathit{dis}(n),\mathit{dis}(2n)\}\)；然而这道题上下两层图之间的边权为 \(0\)，所以直接取任意一个点的 \(\mathit{dis}\) 即可。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc325/submissions/46897682