数论——卢卡斯定理、求组合数 学习笔记

数论——卢卡斯定理、求组合数

说明

温馨提示：组合数一般较大，下面的示范代码均无视数据范围，如果爆 int 请自行开 long long 或高精度处理。

引入

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) 个元素组成一个集合，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m \leq n\) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数，也被称为「二项式系数」。

用符号 \(\dbinom{n}{m}\) 来表示，读作「\(n\) 选 \(m\)」；组合数计算公式：\(\dbinom{n}{m} = \dfrac{n!}{m! \, (n - m)!}\)

特别地，规定当 \(m > n\) 时，\(\dbinom{n}{m}=0\)。

组合数也常用 \(\mathrm C(n, m)\) 表示，即 \(\mathrm C(n, m) = \dbinom{n}{m}\)；
但现在数学界普遍采用 \(\dbinom{n}{m}\) 的记号而非 \(\mathrm C(n, m)\)。

性质

\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\tag{1} \]

\(n\) 选 \(m\)，等价于从 \(n\) 个中挑出 \(n - m\) 个不选.

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\tag{2} \]

第 \(n\) 个是否选？若选，则 \(n - 1\) 选 \(m - 1\)；若不选，则选 \(m\) 个.

\[\sum_{i=0}^m \binom{n}{i}\binom{m}{m-i} = \binom{m+n}{m}\ \ \ (n \geq m)\tag{3} \]

\(n\) 选 \(i\)，另外 \(m\) 选 \(m - i\)；即 \(n + m\) 选 \(m\).

\[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\tag{4} \]

\(n = m\) 时的 \((3)\).

\[\binom{n}{r}\binom{r}{k} = \binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k}\tag{5} \]

\(n\) 选 \(r\)，再 \(r\) 选 \(k\) 个；即 \(n\) 选 \(k\)，再有剩余的 \(n - k\) 选 \(r - k\).

\[\binom{n}{m} \bmod p = \binom{n \bmod p}{m \bmod p}\binom{n / p}{m / p} \bmod p\tag{6} \]

这个就是卢卡斯定理，见下面～

卢卡斯定理

定义

定义：\(\displaystyle \binom{n}{m} \bmod p = \binom{n \bmod p}{m \bmod p}\binom{n / p}{m / p} \bmod p\).

其中 \(p\) 为质数；且当 \(p\) 较小时使用卢卡斯定理求解组合数较快.

代码实现

\(\mathrm{Lucas}(n, m) = \mathrm C(n \bmod p, m \bmod p) \times \mathrm{Lucas}(n / p, m / p) \bmod p\).

有递归版和非递归版：

int lucas(int a, int b, const int p)
{
    if (a < p && b < p)
        return comb(a, b, p);
    return comb(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

int lucas(int a, int b, const int p, int r = 1)
{
    while (a >= p || b >= p)
        r = r * comb(a % p, b % p, p) % p, a /= p, b /= p;
    return r * comb(a, b, p) % p;
}

拓展应用

分析公式，很显然是将 \(n\) 和 \(m\) 拆解为 \(p\) 进制的过程：

\(\displaystyle n = \prod_{i = 0}^r N_i \, p^k\)、\(\displaystyle m = \prod_{i = 0}^r M_i \, p^k\)，那么 \(\displaystyle \binom{n}{m} = \prod_{i = 1}^r \binom{N_i}{M_i}\).

如题：P6669 组合数问题（将问题通过卢卡斯定理转化为范围内数码的问题，并用数位 DP 求解）

点击查看代码

typedef long long ll;

const int N = 110;
const ll MOD = 1e9 + 7;

inline ll MUL(ll a, ll b) { return (a % MOD) * (b % MOD) % MOD; }

int t, k, r;
int a[N], b[N];

ll dp[N][2][2];
ll dfs(int now, bool ln, bool lm)
{
    if (!now) return 1;
    if (dp[now][ln][lm] != -1) return dp[now][ln][lm];
    ll res = 0;
    int upn = ln ? a[now] : k - 1, upm = lm ? b[now] : k - 1;
    for (int i = 0; i <= upn; ++i) for (int j = 0; j <= i && j <= upm; ++j)
        res = (res + dfs(now - 1, ln && i == upn, lm && j == upm)) % MOD;
    return dp[now][ln][lm] = res;
}

int main()
{
    t = rr, k = rr;
    while (t--)
    {
        memset(dp, -1, sizeof dp);

        ll n = rr, m = min(n, rr);
        ll rt = (MUL(m + 1, m + 2) * 500000004ll % MOD + MUL(n - m, m + 1)) % MOD;

        int r = 0, ra = 0;
        while (n) a[++r] = n % k, n /= k;
        while (m) b[++ra] = m % k, m /= k;
        while (ra < r) b[++ra] = 0;

        printf("%lld\n", (rt - dfs(r, 1, 1) + MOD) % MOD);
    }
    return 0;
}

求组合数

递推预处理所有组合数

公式：\(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n - 1}{m} + \dbinom{n - 1}{m - 1}\).

点击查看题目

网址：https://www.acwing.com/problem/content/887/

const int N = 2010;
const long long MOD = 1e9 + 7;

long long comb[N][N];

int main()
{
    comb[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i)
    {
        comb[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            comb[i][j] = (comb[i - 1][j - 1] + comb[i - 1][j]) % MOD;
    }

    int t = rr, a, b;
    while (t--)
        a = rr, b = rr, printf("%lld\n", comb[a][b]);
    return 0;
}

预处理阶乘和逆元

定义式：\(\dbinom{n}{m} = \dfrac{n!}{m! \, (n - m)!}\).

可以每次都用费马小定理计算逆元，更好的方法是线性预处理逆元；
因此也需要保证模数 \(p > n, m\).

点击查看题目

网址：https://www.acwing.com/problem/content/888/

注意除去的是阶乘的逆元，所以不需要预处理单个数的逆元了.

const int N = 1e5 + 10;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll s[N], sv[N];
ll inv[N];

ll qpow(ll a, ll b, const ll p, ll r = 1)
{
    for (; b; b >>= 1)
        b & 1 ? r = r * a % p, a = a * a % p : a = a * a % p;
    return r;
}

int main()
{
    s[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i)
        s[i] = s[i - 1] * i % MOD;

    sv[N - 1] = qpow(s[N - 1], MOD - 2, MOD);
    for (int i = N - 1; i >= 1; --i)
        sv[i - 1] = sv[i] * i % MOD;

    inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i)
        inv[i] = sv[i] * s[i - 1] % MOD;

    int t = rr, a, b;
    while (t--)
        a = rr, b = rr, printf("%lld\n", s[a] * inv[b] % MOD * inv[a - b] % MOD);
    return 0;
}

卢卡斯定理求组合数

公式：\(\displaystyle \binom{n}{m} \bmod p = \binom{n \bmod p}{m \bmod p}\binom{n / p}{m / p} \bmod p\).

点击查看题目

网址：https://www.acwing.com/problem/content/889/

ll qpow(ll a, ll b, const ll p, ll r = 1)
{
    for (; b; b >>= 1)
        b & 1 ? r = r * a % p, a = a *a % p : a = a * a % p;
    return r;
}

ll comb(ll a, ll b, const ll p, ll r = 1)
{
    for (int i = a, j = 1; j <= b; --i, ++j)
        r = r * i % p * qpow(j, p - 2, p) % p;
    return r;
}

int lucas(ll a, ll b, const ll p, ll r = 1)
{
    while (a >= p || b >= p)
        r = r * comb(a % p, b % p, p) % p, a /= p, b /= p;
    return r * comb(a, b, p) % p;
}

int main()
{
    ll t = rr, a, b, p;
    while (t--)
        a = rr, b = rr, p = rr, printf("%lld\n", lucas(a, b, p));
    return 0;
}

点击查看题目

题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P3807

// 这里同上...
int main()
{
    ll t = rr, a, b, p;
    while (t--)
        a = rr, b = rr, p = rr, printf("%lld\n", lucas(a + b, a, p));
    return 0;
}

Reference

[1] https://oi-wiki.org/math/number-theory/lucas/
[2] https://oi-wiki.org/math/combinatorics/combination/
[3] https://www.acwing.com/blog/content/406/