图论——Kruskal 重构树 学习笔记

图论——Kruskal 重构树

最大生成树将部分内容倒置即可

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基本信息

1. 求解最小生成树
2. 时间复杂度：\(O(m \log m)\)
3. 更适合稀疏图

算法思想

1. 按照边权从小到大排序
2. 依次枚举每一条边，如果这一条边两侧不连通，则加入这条边

代码

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const int N = 200010;

int f[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;
    bool operator<(const Edge &W) const { return w < W.w; }
} g[N];

int find(int x) { return x == f[x] ? x : find(f[x]); }

int main()
{
    int n = rr, m = rr;

    int a, b, w;
    for (int i = 0; i < m; ++i)
        a = rr, b = rr, w = rr, g[i] = {a, b, w};

    sort(g, g + m);

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        f[i] = i;

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        int a = find(g[i].a), b = find(g[i].b), w = g[i].w;
        if (a != b)
            f[a] = b, res += w, ++cnt;
    }

    cnt < n - 1 ? printf("impossible\n") : printf("%d\n", res);
    return 0;
}

Kruskal 重构树

算法思想

在构建最小生成树的时候，设现在枚举到了一条要加入最小生成树的边 \((u, v, w)\)：

则在 Kruskal 重构树中，构建一个点权为 \(w\) 的虚点，编号为 \(t\)，同时连边 \((u, t)\)、\((v, t)\)。

主要性质

1. 重构树是一棵［二叉树］；
2. ［子节点的点权］小于［父节点的点权］（即大根堆）；
3. 最小生成树上［两点之间的最大边权］等于重构树上［两点之间的最大边权］（即为重构树上两点 LCA 的点权）。

结论证明

最小生成树上两点间最大边权等于重构树上两点 LCA 的点权，证明：

1. 后加入的边权一定小于先加入的边权，所以重构树一定自上到下点权不减；
2. 两点在最小生成树上的路径的所有边一定都在重构树上两点之间；
3. 所以两点在最小生成树上之间的最长边权一定是重构树上两点 LCA 的点权。

如图：

其中红色的点表示虚点，中间的数字表示其点权；白色的点表示原有的点。

代码

// INPUT GRAPH
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 2e5 + 10;

// NEW GRAPH
const int NN = N + M;
const int MM = M + M;

// 4LCA
const int K = 20;

// NODE, EDGE, QUERY
int n, m, q;

// INPUT GRAPH
struct e
{
    int u, v, w;
    bool operator<(const e &t) const { return w < t.w; }
} g[M];

// UNOIN
int f[NN];
int find(int x) { return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]); }

// NEW GRAPH
int d[NN], cnt;
int h[NN], e[MM], ne[MM], idx;

// 4LCA
int depth[NN];
int up[NN][K];

// ADD TO NEW GRAPH
inline void _add(int u, int v)
{
    e[idx] = v;
    ne[idx] = h[u];
    h[u] = idx++;
}

void add(int a, int b, int w)
{
    d[++cnt] = w;
    f[a] = f[b] = cnt;
    _add(a, cnt), _add(cnt, a);
    _add(b, cnt), _add(cnt, b);
}

// LCA INIT
void init(int u, int fa)
{
    depth[u] = depth[fa] + 1;
    for (int i = 1; i < K; ++i)
        up[u][i] = up[up[u][i - 1]][i - 1];

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        if (v == fa)
            continue;
        up[v][0] = u, init(v, u);
    }
}

// KRUSKAL
int kruskal()
{
    sort(g + 1, g + 1 + m);

    for (int i = 1; i <= n * 2; ++i)
        f[i] = i;

    cnt = n;
    memset(h, -1, sizeof h);

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int u = find(g[i].u), v = find(g[i].v), &w = g[i].w;
        if (u == v)
            continue;
        res += w, add(u, v, w);
    }

    init(cnt, 0);
    return res;
}

// LCA
int lca(int x, int y)
{
    if (depth[x] < depth[y])
        swap(x, y);

    for (int i = K - 1; i >= 0; --i)
    {
        if (depth[up[x][i]] >= depth[y])
            x = up[x][i];
        if (x == y)
            return x;
    }

    for (int i = K - 1; i >= 0; --i)
        if (up[x][i] != up[y][i])
            x = up[x][i], y = up[y][i];
    return up[x][0];
}

int main()
{
    n = rr, m = rr;

    int a, b, w;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        a = rr, b = rr, w = rr, g[i] = {a, b, w};

    q = rr;

    int res = kruskal();
    while (q--)
        printf("%d\n", d[lca(rr, rr)]);
    return 0;
}

Reference

[1] https://www.luogu.com.cn/blog/lizbaka/kruskal-chong-gou-shu
[2] https://blog.csdn.net/m0_61735576/article/details/124804973