数论——欧拉函数、欧拉定理、费马小定理 学习笔记

数论——欧拉函数、欧拉定理、费马小定理

欧拉函数

定义

欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = 1}^n [\gcd(i, n) = 1]\).

例如：

\(\varphi(1) = 1\)，即 \(\gcd(1, 1) = 1\)；
\(\varphi(2) = 1\)，即 \(\gcd(1, 2) = 1\)；
\(\varphi(3) = 2\)，即 \(\gcd(1, 3) = 1\)，\(\gcd(2, 3) = 1\)；\(\dots\)

性质

1. 欧拉函数是积性函数；即如果 \(\gcd(a, b) = 1\)，那么 \(\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)\)。
2. 由唯一分解定理，设 \(\displaystyle n = \prod\limits_{i=1}^{s}p_i^{k_i}\)，其中 \(p_i\) 是质数，有 \(\displaystyle \varphi(n) = n \times \prod\limits_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}}\)。
3. 当 \(n\) 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)（定义）。

实现

根据性质 \(2\) 可以写出：

int euler_phi(int n) {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    return n > 1 ? ans / n * (n - 1) : ans;
}

线性筛求欧拉函数

注意到在线性筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉。

比如设 \(p_1\) 是 \(n\) 的最小质因子，\(k = n / p_1\)，即 \(kp_1 = n\)；
那么线性筛的过程中 \(n\) 通过 \(k \times p_1\) 筛掉。

观察线性筛的过程，我们还需要处理两个部分，下面对 \(k \bmod p_1\) 分情况讨论：

• 如果 \(k \bmod p_1 = 0\)，那么 \(k\) 包含了 \(n\) 的所有质因子；有：

\[\begin{aligned} \varphi(n) & = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p_1 \times k \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p_1 \times \varphi(k) \end{aligned} \]

• 如果 \(k \bmod p_1 \neq 0\)，这时 \(k\) 和 \(p_1\) 是互质的，根据欧拉函数性质；有：

\[\begin{aligned} \varphi(n) & = \varphi(p_1) \times \varphi(k) \\\\ & = (p_1 - 1) \times \varphi(k) \end{aligned} \]

int primes[N], cnt;
bool is[N];

int phi[N];
int get_phi(int n) {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!is[i]) primes[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; ++j) {
            is[primes[j] * i] = 1;
            if (i % primes[j]) phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
            else {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
        }
    }
}

欧拉定理

前置知识

前置知识１：完全剩余系

完全剩余系（最小非负完全剩余系），定义为：\(\mathbb Z_m = \{0, 1, \dots, m - 1\}\).

具体的定义为 整数集 \(S = \{r_1, r_2, \dots, r_s\}\)，满足：

1. 任意不同元素 \(r_i \not \equiv r_j \pmod m\).
2. 任意 \(a \in \mathbb Z\)，存在 \(r_i \equiv a \pmod m\).

也就是模 \(m\) 意义下的完全剩余系包含 \(0 \sim m - 1\) 内的所有整数，长度为 \(m\)。

前置知识２：简化剩余系

简化剩余系，定义为：\(\Phi_m = \{r \in \mathbb Z_m : r \perp m\}\).

具体的定义为 整数集 \(S = \{r_1, r_2, \dots, r_s\}\)，满足：

1. 任意 \(r_i \perp m\).
2. 任意不同元素 \(r_i \not \equiv r_j \pmod m\).
3. 任意 \(a \perp m\)，存在 \(r \equiv a \pmod m\).

也就是模 \(m\) 意义下的简化剩余系包含 \(0 \sim m - 1\) 内所有与 \(m\) 互质的整数，长度为 \(\varphi(m)\)。

前置知识３：欧拉定理的引理

若 \(a \perp m\)，且有 \(S = \{r_1, r_2, \dots, r_s\}\) 为一个简化剩余系，
则 \(S' = \{ar_1, ar_2, \dots, ar_s\}\) 也是一个简化剩余系。

证明：

1. 对于任意 \(r_i\)：由 \(a \perp m\)、\(r_i \perp m\)，得 \(ar_i \perp m\)（互质性质）.
2. 对于任意两个不同元素：由 \(r_i \not \equiv r_j \pmod m\)、\(a \perp m\)，得 \(ar_i \not \equiv ar_j \pmod m\).
3. 由 \(|S'| = |S|\) 及 \((2)\) 得：任意 \(r_i\) 一定有与其对应的 \(ar_j\) ；
   因为对于任意 \(t \perp m\)，存在 \(r_i \equiv t \pmod m\)，也一定存在 \(ar_j \equiv t \pmod m\).

满足简化剩余系的定义，因此 \(S'\) 是一个简化剩余系。

定义

若 \(\gcd(a, m) = 1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)。

证明

设 \(S = \{ r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(m)} \}\) 为模 \(m\) 意义下的简化剩余系，
则 \(S' = \{ ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(m)} \}\) 也为模 \(m\) 意义下的简化剩余系.

因为 \(a \perp m\)，所以 \(r_1r_2 \dots r_{\varphi(m)} \equiv ar_1ar_2 \dots ar_{\varphi(m)} \pmod m\)，
即 \(r_1r_2 \dots r_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)} r_1r_2 \dots r_{\varphi(m)} \pmod m\).

因为 \(r_1r_2 \dots r_{\varphi(m)} \perp m\)（互质性质），所以可以约去；
即 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\).

应用

指数取模

\(a^k \equiv a^{k \bmod \varphi(p)} \pmod p\)

证明：

\[\begin{align} a^{u + v\varphi(p)} &\equiv a^ua^{v\varphi(p)} &\pmod p \\ &\equiv a^u(a^{\varphi(p)})^v &\pmod p \\ &\equiv a^u(1)^v &\pmod p \\ &\equiv a^u &\pmod p \end{align} \]

费马小定理

若 \(p\) 为素数，由于 \(\varphi(p) = p - 1\)，代入欧拉定理可立即得到费马小定理：
若 \(p\) 为素数，\(\gcd(a, p) = 1\)，则 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\)。

Reference

[1] https://oi-wiki.org/math/number-theory/euler/
[2] https://oi-wiki.org/math/number-theory/sieve/
[3] https://oi-wiki.org/math/number-theory/fermat/
[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/581822244
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/536214853
[6] https://zhuanlan.zhihu.com/p/577742188
[7] https://blog.csdn.net/weixin_43145361/article/details/107083879
[8] https://baike.baidu.com/item/简化剩余系/3712809