图论——差分约束 学习笔记

图论——差分约束 学习笔记

定义

差分约束系统是一种特殊的 \(n\) 元一次不等式组：

• 包含 \(n\) 个变量 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)；
• 包含 \(m\) 个约束条件，形如 \(x_i-x_j \le c_k\)，其中 \(1 \le i, j \le n, i \neq j\)。

我们被要求求一组解，或者判断无解。

过程

最原始的约束条件形如 \(x_i-x_j \le c_k\)，我们可以将其等价变形为 \(x_i\leq x_j+c_k\)，注意到这与 三角形不等式 非常相似，因此我们可以将整个不等式组看做一个图，在图上跑最短路：

• 对于 \(x_i-x_j \le c_k\)：
• 将变量 \(x_i,x_j\) 看为节点，将 \(c_k\) 看为边权，
• 那么我们就可以：从 \(j\) 向 \(i\) 连一条边权为 \(c_k\) 的边。

此时当我们在图上跑出最短路的结果 \(\mathit{dis}_k\) 即为 \(x_k\) 的一个特解。

通解

如果 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 是该差分约束系统的一组解，\(\{a_1+d,a_2+d,\dots,a_n+d\}\) 也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 \(d\) 恰好被消掉。

计算

我们建一个超级源点 \(\mathit{rt}\) 并从 \(\mathit{rt}\) 开始跑最短路，注意到边权有可能非负，于是我们跑队列优化的 Bellman–Ford（俗称 SPFA，它没死）。

如果我们被要求判断是否存在解，就可以使用栈优化的 Bellman–Ford，更快，详见 最短路。

常见的转换

我们的原型形式为 \(x_i-x_j\le c_k\)，然而大部分时候，题目给出的并不是这个形式（有可能更加复杂）。

于是我们需要转换：

题意	转化	连边
\(x_i-x_j\le c\)	\(x_i-x_j\le c\)	add(j, i, c)
\(x_i-x_j\ge c\)	\(x_j-x_i\le -c\)	add(i, j, -c)
\(x_i-x_j=c\)	\(x_i-x_j\le c,x_i-x_j\ge c\)	add(j, i, c), add(i, j, -c)
\(x_i=x_j\)	\(x_i-x_j\le 0,x_i-x_j\ge 0\)	add(j, i, 0), add(i, j, 0)
\(x_i/x_j\le c\)	\(\log x_i-\log x_j\le \log c\)	add(log(j), log(i), log(c))
数不胜数	自行总结	注意细节

练习题

见：https://www.luogu.com.cn/training/418255

Reference

[1] https://oi-wiki.org/graph/diff-constraints/