CSP-J/S 初赛冲刺

对于咱们信奥选手来说，会做的题要坚决不丢分，不会做的题要学会尽量多拿分，这样你的竞赛之路才能一路亨通！

Linux 基础操作

文件（文件夹）操作

列出文件：ls
列出隐藏文件：ls -a
列出文件及大小：ls -l
重命名文件：mv old.cpp new.cpp
创建备份：cp file.cpp file.cpp.bak
查看目录地址：pwd
切换上级目录：cd ..
切换目录：cd dirx
创建目录：mkdir dirx
删除目录：rm -r dirx

点击查看代码

运行程序：./test
计时运行：time ./test
重定向输入输出：test<in.txt>out.txt
查看所有进程：ps
杀掉后台进程：killall test
终止进程：kill $pid
强制终止运行：Ctrl-C
输入结尾（EOF）：Ctrl-Z

G++/Gcc 基础指令

生成调试信息：-g
生成目标文件：-c
生成可执行文件：-o
包含 cmath 库：-lm
显示警告：-Wall
缺氧、氧气优化：-O0，-O2
C++11/14：-std=c++11，-std=c++14

计算机设备结构

存储器

访问速度：寄存器 $>$ 高速缓存 $>$ 内存（ROM + RAM）$>$ 外存，断电仅保留 ROM 和外存中的数据。

ASCII 码

$\texttt{ASCII}$ 码（$\texttt{American Standard Code for Information Interchange}$）是美国国家交换标准代吗。

码域	字符	可见性
$0 \sim 31$，$127$	控制字符或通信专用字符	$\texttt{False}$
$32$	空格	$\texttt{False}$ 或 $\texttt{True}$
$48 \sim 57$	数字（$\texttt{0} \sim \texttt{9}$）	$\texttt{True}$
$65 \sim 90$	大写字母（$\texttt{A} \sim \texttt{Z}$）	$\texttt{True}$
$97 \sim 122$	小写字母（$\texttt{a} \sim \texttt{z}$）	$\texttt{True}$
其他（$33 \sim 47$，$58 \sim 64$，$94 \sim 96$，$126$）	特殊字符	$\texttt{True}$
拓展（$128 \sim 255$）	拓展的 $\texttt{ASCII}$ 码	$\texttt{N/A}$

（ $\texttt{PS: } 2^8 - 1 = 255，2^7 - 1 = 127$ ）

机器数与真值

正数：［原码 $=$ 反码 $=$ 补码］

负数：［反码 $=$ 除符号位外，原码的各位全部取反］［补码 $=$ 反码 $+1$］

逻辑表达式的右结合性

逻辑表达式：由逻辑运算组合而成，返回值只有 $\texttt{True}$ 和 $\texttt{False}$，其中 $0$ 表示假、非 $0$ 表示真。

如果逻辑表达式由多个组合，需要［从右往左］依次判断，最后得出答案。这种性质被称为［右结合性］。

例子：

<表达式1>?<表达式2>:<表达式3>?<表达式4>:<表达式5>
执行的时候是从表达式 $3$ 开始判断是否为真，然后从右往左执行每一个表达式，依次向上回溯，最后得出答案。

算法基础

数据结构基础

详见：https://www.luogu.com.cn/blog/334586/csp-pre-knowledge

数学基础

详见：https://www.luogu.com.cn/blog/334586/csp-pre-knowledge

复杂度分析

符号：$T(n)$ 表示时间复杂度，$T(n) = $ 后跟一个符号，例：$T(n) = \mathcal{O}(n^2)$。

符号	英文名称	意义
$\Theta$	`theta`	等于
$\mathcal{O}$	`big-oh`	小于等于
$\Omega$	`big-omega`	大于等于（不常用）
$o$	`small-oh`	小于（不常用）
$\omega$	`small omega`	大于（不常用）

详见：https://oi-wiki.org/basic/complexity/

排序算法

基于比较：通过比较元素来排序数列，如冒泡排序，快速排序等；

不基于比较：不比较元素，通过其他方法来进行排序，如基数排序等。

	选择排序	冒泡排序	插入排序	快速排序	归并排序
平均复杂度	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n \log n)$	$\mathcal{O}(n \log n)$
最坏复杂度	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n \log n)$
最好复杂度	$\mathcal{O}(n^2)$	$\mathcal{O}(n)$	$\mathcal{O}(n)$	$\mathcal{O}(n \log n)$	$\mathcal{O}(n \log n)$
稳定性	不稳定	稳定	稳定	不稳定	稳定
空间复杂度	$\mathcal{O}(1)$	$\mathcal{O}(1)$	$\mathcal{O}(1)$	$\mathcal{O}(n)$	$\mathcal{O}(n)$

	希尔排序	堆排序	基数排序
平均复杂度	$\mathcal{O}(n^{1.3})$	$\mathcal{O}(n \log n)$	$\mathcal{O}(d \times (n + w))$
最坏复杂度		$\mathcal{O}(n \log n)$	$\mathcal{O}(d \times (n + w))$
最好复杂度		$\mathcal{O}(n \log n)$	$\mathcal{O}(d \times (n + w))$
稳定性	不稳定	不稳定	稳定
空间复杂度	$\mathcal{O}(1)$	$\mathcal{O}(1)$	$\mathcal{O}(w)$

常用缩写

网络

局域网：$\texttt{LAN}$（$\texttt{Local Area Network}$），$\le 1 \text{ } \texttt{km}$，结构简单、范围小，短距离传输效率极高
城域网：$\texttt{MAN}$（$\texttt{Metropolitan Area Network}$），$1 \sim 10 \text{ } \texttt{km}$
广域网：$\texttt{WAN}$（$\texttt{Wide Area Network}$），$10 \sim 1000 \text{ } \texttt{km}$
万维网：$\texttt{WWW}$（$\texttt{World Wide Web}$），全球范围

协议

传输相关
- 传输控制协议：$\texttt{TCP}$（$\texttt{Transmission Control Protocol}$）
- 用户数据报协议：$\texttt{UDP}$（$\texttt{User Datagram Protocol}$）
应用相关
- 超文本传输协议：$\texttt{HTTP}$（$\texttt{Hyper Text Transfer Prtcl}$）
- 超文本传输协议：$\texttt{HTTPS}$（$\texttt{ - over Securesocket ayer}$），增加了传输加密和身份认证
- 文件传输协议：$\texttt{FTP}$（$\texttt{File Transfer Protocol}$）
- 对等网络：$\texttt{P2P}$（$\texttt{peer-t(w)o-peer}$）
邮件相关
- 简单邮件传输协议：$\texttt{SMTP}$（$\texttt{Simple Mail Transfer Protocol}$）
- 邮局协议：$\texttt{POP}$（$\texttt{Post Office Protocol}$）
- 邮局协议第三版：$\texttt{POP3}$（$\texttt{Post Office Protocol - Version 3}$）
- 交互邮件访问协议：$\texttt{IMAP}$（$\texttt{Internet Message Access Protocol}$）

计算机设备结构

随机存储器：$\texttt{RAM}$（$\texttt{Random Access Memory}$）
只读存储器：$\texttt{ROM}$（$\texttt{Read Only Memory}$）

数学问题

排列组合

排列 $A(n, m)$，旧时写作 $P(n, m)$：

$\displaystyle A(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}$
组合 $C(n, m)$，也写作 $\displaystyle \binom{n}{m}$：

$\displaystyle C(n, m) = \frac{A(n, m)}{A(m, m)} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$
错排列问题：

$D_1 = 0$，$D_2 = 1$，$D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2})$
Lucas 定理：

$\displaystyle \binom{n}{m} = \binom{n \bmod p}{m \bmod p}\binom{n / p}{m / p}$，其中 $p$ 为质数
Catalan 数：

$\displaystyle C(n) = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n - 1} = \frac{1}{n + 1} \binom{2n}{n}$
二项式定理：

$\displaystyle (x + y)^k = \sum_{i = 0}^{k} C(n, i) x^i y^{k - i}$

概率与统计

独立事件（即两事件的结果不会相互影响）：

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
古典公式：

$P(A) = \dfrac{|A|}{S}$
贝叶斯公式：

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
数学期望：

$\displaystyle E(x) = \sum_{i = 1}^\infty x_i p_i$

线性代数

矩阵：
矩阵乘法 $O(nmr)$：

设 $A = (a_{ij})_{n \times m}$，$B = (b_{ij})_{m \times r}$，
设 $C = A \times B = (c_{ij})_{n \times r}$，
则 $\displaystyle c_{ij} = \sum_{k = 1}^{m} a_{ik}b_{kj}$

如图

方格路径

题目：有 $n \times m$ 的方格，从 $(1, 1)$ 出发，只能向右、下走，求走到 $(n, m)$ 的方案数。

递推法

每个格子可以从上面和右面转移过来，这是一个非常基础的 DP 问题：$f(i, j) = f(i - 1, j - 1) + f(i - 1, j)$.
组合数学法

$C(n + m - 2, n - 1)$ 或 $C(n + m - 2, m - 1)$.

证明：一共要走 $n + m - 2$ 步，其中 $n - 1$ 个下，$m - 1$ 个右，随时都能向右走，证毕。
扩展

从 $(a, b)$ 走到 $(c, d)$，路径数为 $C(c - a + d - b, c - a)$ 或 $C(c - a + d - b, d - b)$.

其他

对数恒等式：

*$\log_kn = \dfrac{\log_xn}{\log_xk}$
整数溢出：

signed 溢出是 Undefined Behavior（UB），是否取会模取决于编译器；
unsigned 溢出是 Define Behavior（DB），在溢出时自动取模。
模等式：
- 对于 $m \bmod n = p$：
  - 若 $m > n$，则 $0 \le p <n$；
  - 若 $m = n$，则 $p = 0$；
  - 若 $m < n$，则 $p = m$；
- 所以 $p \le \min(m, n)$

图片与视频大小问题

拿分技巧

普通单选题就是一个题面一道题四个选项，主要是从五个方面来考察，分别是：计算机基础常识、C++ 语法、基本算法理论、数据结构、数学基础。本文主要详述一下这些题适用的拿分技巧，包括：排除法、特殊值代入法、极值法等，除此之外在一些代码题中也可以用模拟法，模拟法会在下文详述。

长篇代码题就是给一段代码，然后需要回答若干道与之相关的客观题，给出的代码可以是完好的（阅读程序题），也可以是残缺的（完善程序题）。对于这些题，我们能用的技巧有：模拟法、模仿相似代码法、相关变量法、经典算法实现、参考文字提示、特殊数据带入法、排除法、反例法等。

排除法

这道题当年很多同学不敢肯定 A 是对的，但是呢，由于 BCD 错得离谱，所以就算你再不确定 A 是不是对的，由于其他选项都被排除了，也就只好选 A 了。

极值法

本题是一个抽象的规律题，理论上对于任何符合条件的数，这个规律都能成立，故而我们可以代入一些极为特殊的数，从而能直接简化整个题目的难度等级，比如代入 $n = 1$，则数组被简化为 $1 \times 1$ 的数组，只有 $1$ 个元素：a[0][0]。

此时，这个元素的前面没有任何元素，即，有 $0$ 个元素。然后把 $i = 0$ 和 $j = 0$ 代入四个选项，能够快速得到 A 为 $-1$、D 为 $1$ 都是不符合题意的选项，均可以快速排除。至于 B 和 C 选项，我们只需要再代入一个稍复杂的矩阵（如 $3 \times 4$）的就能轻松解决问题~

在上述实操中，我们使用了一个特殊极值，将题目化简为了一个极为简单的情况（从二维变成了一维），从而快速排除掉一半的选项，将随机选择的正确率从 $25\%$ 一下就提高到了 $50\%$，这道题的原意本来是想考察我们对二维数组存储的理解深度，但是如果你对二维数组的了解不深，通过这种极值简化和排除的办法，也能极大提高得分概率。

代入法

我们可以代入一些特殊的数据，来猜测什么样的数组合并时，比较次数最多，并算出最多的比较次数。

比如，如果是 a 数组 $[1, 2, 3]$ 和 b 数组 $[4, 5, 6]$ 两个数组，我们发现首先 $1$、$2$、$3$ 分别需要和 $4$ 比较一次后放入结果数组，然后由于 a 数组已经没有了可比较元素了，b 数组就直接按顺序放入结果数组即可，所以比较次数只需要 $3$ 次，即 n 次即可。

这样显然太顺利了，而题目问的是至多多少次，所以我们可以构造一个运气不太好的数组，如 a 为 $[1, 3, 5]$，b 为 $[2, 4, 6]$，这样 $1$ 需要和 $2$ 比较，然后放入结果数组，$2$ 需要和 $3$ 比较、$3$ 需要和 $4$ 比较等等。

以此类推，合并这两个数组需要比较 $5$ 次，咱们可以随意增大数组长度找规律，可知需要比较 $2n – 1$ 次。而且由于除了最后一个元素外，每个元素进数组前都要比较一次，比较得很充分，没有其他情况能比这种情况比的次数更多了，故而得到本题答案选 D。这样代入具体例子肯定比同学们在理论层面推要快，要直观，更不容易错，对吧？

模拟法

若变量个数过多，或程序变化过于复杂，随手写的过程中容易稍不留神就出错时，则可以考虑设计表格来展示所有数据。模拟时，遇到常见的变量名和算法结构时，可以大胆地根据变量名、算法结构猜测其作用，再根据模拟的结果小心验证，这样能够提高做对的概率，并且极大减少我们模拟时的工作量~

常见的变量名如下：

对于常见的算法结构，大家可以重点关注一些算法的典型结构：二分、计数排序、连续字符判断（字符转数字）、链表、分治、二叉树等。此处限于篇幅就不详细列出每种结构了，请大家一定要对照代码，仔细总结。

虽然模拟法非常有用，但是比较依赖各位同学扎实的代码能力，对于非常复杂的题，代码能力弱的同学可能会模拟得非常吃力，还容易出错，所以下述技巧其实才是咱们“骗分”的主力！

模仿相似代码法

在我们编写程序的时候，常常会出现相似度很高的代码，它们通常是对不同的对象做相同或者相似的处理。这种现象常常出现在枚举、分治或者树结构相关的程序上。当我们需要补全语句时，参考与它相似的段落往往会给我们带来很多提示和启发。

方法举例：

通过题目可知，本题代码考察的是二叉树结构。在代码里，你能发现相似的地方不？16行和17行的代码是比较相似的吧？从 $17$ 行的 a[root].rch 来看，我们不难猜出，这里应该是要遍历它的右子树，那么 $16$ 行应该是要遍历什么呢？自然是左子树，所以标号为 ② 这个空的答案呼之欲出：自然是 a[root].lch。

通过 $16$ 行可知，左子树的范围是 lower_bound 到 cur，那么 ③④ 空右子树的范围是啥呢？肯定从 cur 左右开始，到 upper_bound。为啥是 upper_bound 呢？因为一查字典就知道，lower_bound 是下界（下限/最小值），所以与之对应的词，习惯上一般称为 upper_bound（上界）。经过此番严谨而大胆的猜测后，下面的几题你会选了么？

当然，你要是觉得用技巧的猜测过于大胆了，不放心的话，在时间富裕的情况下，可以再用模拟法代入具体数值小心验证一下。

经典算法实现

很多题目，特别是完善程序题的题目都会涉及到一个或多个具体的算法，而很多算法是有明显的经典代码特色的。因此，咱们可以利用算法本身约定俗成的写法就能快速解题！

方法举例：

本题的 $1$、$2$ 空一看就是在求所有的约数，结合题目要求复杂度为 $O(\sqrt n)$，我们根据过往求解因数个数等的模板可知，$1$ 空为 i * i（因为约数是成双成对的，找到 $\sqrt n$ 就行了），$2$ 空为 n / i，这是为了避免完全平方数有一个无法成对的约数情况（如，$36$ 的约数 $6$ 没有与之配对的不同的约数了）。

本题的 $3$、$4$ 空根据函数名和题目描述可知，其作用是求最大公约数的函数，结合题目要求复杂度为 $O(\log \max(a, b))$，不难发现，这是考辗转相除法的递归版本，所以 $3$ 为 return a、$4$ 为 a % b。

反例法

此方法通常用在判断题里，根据题目给的条件，只要能举出一个反例，那么题目所描述的内容就会不成立。

方法举例：

比如，题目说：数组 a[i] 必须全为正整数，否则程序将选入死循环。那我们就可以将 $0$ 或者负整数代入 a 数组，看看会不会死循环，只要能找到一个反例，那么这道题的描述的情况就不成立。当然，由于只需要找到一个反例，所以我们可以代入尽可能简单的数，比如 $0$ 或 $-1$，这样就能快速算出答案。

参考资料

posted @ 2023-09-10 08:09 RainPPR 阅读(168) 评论(0) 编辑收藏举报

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码域	字符	可见性
\(0 \sim 31\)，\(127\)	控制字符或通信专用字符	\(\texttt{False}\)
\(32\)	空格	\(\texttt{False}\) 或 \(\texttt{True}\)
\(48 \sim 57\)	数字（\(\texttt{0} \sim \texttt{9}\)）	\(\texttt{True}\)
\(65 \sim 90\)	大写字母（\(\texttt{A} \sim \texttt{Z}\)）	\(\texttt{True}\)
\(97 \sim 122\)	小写字母（\(\texttt{a} \sim \texttt{z}\)）	\(\texttt{True}\)
其他（\(33 \sim 47\)，\(58 \sim 64\)，\(94 \sim 96\)，\(126\)）	特殊字符	\(\texttt{True}\)
拓展（\(128 \sim 255\)）	拓展的 \(\texttt{ASCII}\) 码	\(\texttt{N/A}\)

	选择排序	冒泡排序	插入排序	快速排序	归并排序
平均复杂度	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n \log n)\)	\(\mathcal{O}(n \log n)\)
最坏复杂度	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n \log n)\)
最好复杂度	\(\mathcal{O}(n^2)\)	\(\mathcal{O}(n)\)	\(\mathcal{O}(n)\)	\(\mathcal{O}(n \log n)\)	\(\mathcal{O}(n \log n)\)
稳定性	不稳定	稳定	稳定	不稳定	稳定
空间复杂度	\(\mathcal{O}(1)\)	\(\mathcal{O}(1)\)	\(\mathcal{O}(1)\)	\(\mathcal{O}(n)\)	\(\mathcal{O}(n)\)

RainPPR（ツ）

逄沛然

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文件（文件夹）操作

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G++/Gcc 基础指令

计算机设备结构

存储器

ASCII 码

机器数与真值

逻辑表达式的右结合性

算法基础

数据结构基础

数学基础

复杂度分析

排序算法

常用缩写

网络

协议

计算机设备结构

数学问题

排列组合

概率与统计

线性代数

方格路径

其他

图片与视频大小问题

拿分技巧

排除法

极值法

代入法

模拟法

模仿相似代码法

经典算法实现

反例法

参考资料

公告

符号	英文名称	意义
\(\Theta\)	`theta`	等于
\(\mathcal{O}\)	`big-oh`	小于等于
\(\Omega\)	`big-omega`	大于等于（不常用）
\(o\)	`small-oh`	小于（不常用）
\(\omega\)	`small omega`	大于（不常用）

	希尔排序	堆排序	基数排序
平均复杂度	\(\mathcal{O}(n^{1.3})\)	\(\mathcal{O}(n \log n)\)	\(\mathcal{O}(d \times (n + w))\)
最坏复杂度		\(\mathcal{O}(n \log n)\)	\(\mathcal{O}(d \times (n + w))\)
最好复杂度		\(\mathcal{O}(n \log n)\)	\(\mathcal{O}(d \times (n + w))\)
稳定性	不稳定	不稳定	稳定
空间复杂度	\(\mathcal{O}(1)\)	\(\mathcal{O}(1)\)	\(\mathcal{O}(w)\)