数据结构——李超线段树 学习笔记

数据结构——李超线段树 学习笔记

维护直线

考虑线段树维护区间最优线段。

• 其中，最优线段指的是，在区间 \([l,r]\) 中，中点 \(mid\) 处最优的线段。

• 我们称一个线段在单点更优 / 最优，显然，是指此处的函数值更大。

• 我们下面称一个线段在区间内更优 / 最优，是指在中点处的比较。

• 我们称一个线段在区间 / 单点严格更优，是指在该区间任何一处都更优。

插入直线

首先考虑在区间 \([l,r]\) 中插入线段：

• 若该区间无线段，那么直接让他成为最优线段。

• 如果已经有了，注意到我们不方便将一个区间下传，因此标记永久化。

设新线段为 \(f\)，当前的最优线段为 \(g\)，考虑合并，

• 我们钦定 \(f\) 在区间 \([l,r]\) 弱于 \(g\)，如果不满足那么交换即可。

1. 若在左右端点 \(f\) 都更弱，那么 \(g\) 严格优于 \(f\)，\(f\) 不可能成为答案，不需要下传。

2. 若在左端点 \(f\) 更优，因为 \(f\) 在中点更弱，因此左侧一定存在分界点，递归左侧。

3. 若在右端点 \(f\) 更优，因为 \(f\) 在中点更弱，因此右侧一定存在分界点，递归右侧。

复杂度分析：

• 因为两直线最多只有一个交点，因此左右最多递归一个。

• 因此，时间复杂度为，单次 \(\mathcal O(n\log n)\)。

---

为何不能钦定 \(f\) 强于 \(g\) 然后加入 \(f\) 捏？

注意到如果 \(f\) 严格强于 \(g\)，那么为了更新答案，我们还是需要交换 \(f,g\)。

然后这样这个问题相当于没有。

查询最值

标记永久化之后，我们需要把从根到叶子节点的每一个最优线段计算。

注意到是区最值，是可以重复的，那么我们随便搞就可以了。

时间复杂度同线段树，为单次 \(\mathcal O(\log n)\)。

代码

P4254 [JSOI2008] Blue Mary 开公司

struct line {
	double k, b;
} p[M];

int tot;

double calc(int u, int t) {
	return p[u].b + p[u].k * t;
}

#define ls(k) ((k) << 1)
#define rs(k) ((k) << 1 | 1)

int best[N << 2];

void modify(int k, int l, int r, int u) {
	int &v = best[k];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (calc(u, mid) > calc(v, mid)) swap(u, v);
	if (calc(u, l) > calc(v, l)) modify(ls(k), l, mid, u);
	if (calc(u, r) > calc(v, r)) modify(rs(k), mid + 1, r, u);
}

double query(int k, int l, int r, int t) {
	double res = calc(best[k], t);
	if (l == r) return res;
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (t <= mid) res = max(res, query(ls(k), l, mid, t));
	else res = max(res, query(rs(k), mid + 1, r, t));
	return res;
}

void Insert(double k, double b) {
	p[++tot] = {k, b};
	modify(1, 1, (int)5e4, tot);
}

double Query(int t) {
	return query(1, 1, (int)5e4, t);
}

维护线段

插入线段

我们延续上面的思路，但是。

我们需要线段树式的遍历到每一个节点，才能更新最优线段。

• 注意到线段树会把区间分为 \(\mathcal O(\log n)\) 个区间，

• 我们需要对每个区间进行 \(\mathcal O(\log n)\) 的更新，

• 因此，总时间复杂度是 \(\mathcal O(\log^2n)\) 的。

查询最值

和上面没有变化。

代码

下面是和上面类似的代码，也很好写。

struct line {
	double k, b;
} p[M];

int tot;

double calc(int u, int t) {
	return p[u].b + p[u].k * t;
}

#define ls(k) ((k) << 1)
#define rs(k) ((k) << 1 | 1)

int best[N << 2];

void update(int k, int l, int r, int u) {
	int &v = best[k];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (calc(u, mid) > calc(v, mid)) swap(u, v);
	if (calc(u, l) > calc(v, l)) update(ls(k), l, mid, u);
	if (calc(u, r) > calc(v, r)) update(rs(k), mid + 1, r, u);
}

void modify(int k, int l, int r, int p, int q, int u) {
	if (l >= p && r <= q) return update(k, l, r, u);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (q <= mid) return modify(ls(k), l, mid, p, q, u);
	if (p >= mid + 1) return modify(rs(k), mid + 1, r, p, q, u);
	modify(ls(k), l, mid, p, q, u), modify(rs(k), mid + 1, r, p, q, u);
}

double query(int k, int l, int r, int t) {
	double res = calc(best[k], t);
	if (l == r) return res;
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (t <= mid) res = max(res, query(ls(k), l, mid, t));
	else res = max(res, query(rs(k), mid + 1, r, t));
	return res;
}

void Insert(double k, double b) {
	p[++tot] = {k, b};
	modify(1, 1, (int)5e4, tot);
}

double Query(int t) {
	return query(1, 1, (int)5e4, t);
}

P4097 【模板】李超线段树 / [HEOI2013] Segment

这个题目强制在线，且需要输出最优线段且编号最小，因此可能会被卡精度，

constexpr double eps = 1e-8;

inline int Cmp(double x, double y) {
	if (x - y > eps) return 1;
	if (y - x > eps) return -1;
	return 0;
}

inline pair<double, int> Max(const pair<double, int> &a,
							 const pair<double, int> &b) {
	int c = Cmp(a.first, b.first);
	if (c == 0) return a.second < b.second ? a : b;
	return c == 1 ? a : b;
}