数据结构——树状数组 学习笔记

数据结构——树状数组 学习笔记

引入

树状数组的特点：

• 好写好调。
• 一般只支持单点修改，前缀查询。
• 可以通过差分、公式等实现区间修改，单点查询等。

我们考虑这样一个题：

• 单调修改，区间求和。

我们有两个比较好想的思路：

1. 直接 \(\mathcal O(1)\) 修改，\(\mathcal O(n)\) 遍历查询；
2. 维护前缀和 \(\mathcal O(1)\) 查询，\(\mathcal O(n)\) 修改贡献。

而树状数组提供了一个每个操作单次 \(\mathcal O(\log n)\) 的做法。

基本思想

代数上，太复杂了我们不考虑。

几何上，如图，

我们令 \(s_i\) 表示，

• 从 \(i\) 往前数 \(\operatorname{lowbit(i)}\) 位的和，即 \(a(i-\operatorname{lowbit}(i)+1,,i)\)。

那么我们就知道，前缀和可以表示为若干个这样的区间。

可以发现，任何一个前缀都可以被 \(\mathcal O(\log n)\) 个小块表示，因此复杂度正确。

代码实现：

constexpr int N = 1e5 + 10;

#define lowbit(x) ((x) & -(x))

int n, s[N];

// [1, x]
int query(int x) {
    int r = 0;
    for (; x; x -= lowbit(x)) r += s[x];
    return r;
}

// [x] += v
int modify(int x, int v) {
    for (; x <= n; x += lowbit(x)) s[x] += v;
}

// [l, r]
int query(int l, int r) {
    if (l == 1) return query(r);
    return query(r) - query(l - 1);
}

请注意：

• 树状数组不支持负数及零下标，可以使用偏移量或者离散化；
• 树状数组本身只支持单点修改，前缀查询，可以通过数学方法来实现其他的。

差分实现区间修改，单点查询。

我们将原数组 \(s\) 变为其差分数组，那么，

• 区间修改，差分性质即可；
• 单点查询，注意到原数组即差分数组的前缀和，符合树状数组维护的性质。

代码实现：

int add(int p, int q, int v) {
    modify(p, v);
    modify(q + 1, -v);
}

int at(int x) {
    return query(x);
}

区间修改，区间查询。

推式子，感觉不如线段树直接维护，略。