数论——Fermat素性检验、Miller-Rabin素性检验

试除法与素性测试

试除法：所有的试除法，无论是 \(\mathcal O(n)\) 的还是 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 的，其本质都相同：

• 即找 \(n\) 可能存在的因子 \(k\)，判断 \(k \mid n\)。

素性测试：旨在不用分解因数的方式，判断一个数是否为质数；素性测试分为两种：

• 确定性测试：（绝对正确的）确定一个数是否为素数。
• 概率性测试：具有较高正确率，但是不完全保证准确。

Fermat 素性检验

我们知道有费马小定理：\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)（\(p \in \mathbb P,a \perp p\)）。

据此，我们得出费马小定理的逆否命题：

若有 \(a \perp p\) 且 \(a^{p - 1} \not\equiv 1 \pmod p\)，则 \(p\) 一定不是质数。

但是逆否命题不意味着逆命题成立，因此，满足上一命题的，不一定完全是质数。

此类满足费马小定理逆否命题，但不是质数的数，称为 Carmichael 数。

在大部分情况下，我们使用（并不正确的）费马小定理逆定理，判定一个质数。

这个过程称为 Fermat 素性检验。

二次探测定理

如果 \(p\) 是奇质数（只有质数 \(2\) 不是奇质数），则:

\(x^2 \equiv 1 \pmod p\) 的解为 \(x \equiv 1 \pmod p\) 或 \(x \equiv p-1 \pmod p\)。

证明：

因此 \(x \equiv 1 \pmod p\) 或 \(x \equiv p-1 \pmod p\)。

Miller-Rabin 素性检验

Miller–Rabin 素性测试是根据费马测试和二次探测定理优化得到的。

其准确性较高，目前已知没有通过 Miller–Rabin 素性测试而非质数的。

因此我们可以（在 OI 中）放心使用。

其复杂度为 \(\mathcal O(k \log n)\)，表示对 \(n\) 进行 \(k\) 次测试。

思想：

将 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) 中的指数 \(p−1\) 分解为 \(p−1=u \times 2^t\)。

对随机出来的 \(a\) 先求出 \(v = a^{u} \bmod n\)，之后对这个值执行最多 \(t\) 次平方操作。

若发现非平凡平方根时即可判断出其不是素数，否则再使用 Fermat 素性测试判断。

代码：

using ll = long long;

ll Pow(ll a, ll b, ll p) {
    ll r = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) r = (__int128)r * a % p;
        a = (__int128)a * a % p;
    } return r;
}

bool Miller_Rabbin(ll a, ll n) {
    ll s = n - 1, r = 0;
    while ((s & 1) == 0) s >>= 1, ++r;
    ll k = Pow(a, s, n);
    if (k == 1) return true;
    for (int i = 0; i < r; ++i) {
        if (k == n - 1) return true;
        k = (__int128)k * k % n;
    } return false;
}

bool isPrime(ll n) {
    if (n <= 1) return false;
    ll cnt = 7, pri[10] = {2, 3, 4, 5, 11, 233, 331};
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
        if (n == pri[i]) return true;
        if (!Miller_Rabbin(pri[i], n)) return false;
    } return true;
}

Reference

[1] https://oi-wiki.org/math/number-theory/prime/
[2] https://www.luogu.com.cn/blog/wangrx/miller-rabin