01 绪论 | 常微分方程

1. 微分方程的定义

1. 微分方程：联系自变量，未知函数以及 未知函数的导数的关系式称为 微分方程
   1. 常微分方程：在一个微分方程中，自变量只有一个
   2. 偏微分方程：在一个微分方程中，自变量有两个或以上
2. 阶数：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数或微分的阶数 称为微分方程的 阶数
3. \(n\)阶微分方程的一般形式：\(F(x, y, \frac{dy}{dx},\cdots, \frac{d^ny}{dx^n}) = 0\)，其中\(y\)是未知函数，\(x\)是自变量
   1. 线性微分方程：如果上述方程的左端为\(y, \frac{dy}{dx},\cdots, \frac{d^ny}{dx^n}\)的 一次有理式，则称为 线性微分方程
   2. 非线性微分方程：不是线性微分方程的微分方程

2. 微分方程的解和通解

1. 微分方程的解：如果函数\(y = \varphi(x),x\in I\)，满足条件：
   1. \(y = \varphi(x)\)在\(I\)上有直到\(n\)阶的连续导数
   2. 对\(\forall x\in I\)有：\(F(x, \varphi(x),\cdots, \varphi^n(x))\equiv 0\)
      则称\(y = \varphi(x)\)为方程\(F(x, y, \frac{dy}{dx},\cdots, \frac{d^ny}{dx^n}) = 0\)在\(I\)上的一个解
2. 显式解：\(y = \varphi(x)\)
3. 隐式解：如果关系式\(\Phi(x, y) = 0\)所确定的隐函数\(y=\varphi(x),x\in I\)为方程\(F(x, y, \frac{dy}{dx}, \cdots, \frac{d^ny}{dx^n}) = 0\)的解，则称\(\Phi(x, y) = 0\)是方程的一个 隐式解
4. 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且所含的 相互独立 的任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，则称这样的解为该方程的 通解
   1. \(n\)阶微分方程的通解的一般形式为\(y = \varphi(x, c_1, \cdots, c_n)\)，其中\(c_1, \cdots, c_n\)为相互独立的任意常数
   2. 相互独立：存在\((x, c_1, \cdots, c_n)\)的某一个邻域，使得行列式
      \[\frac{\partial(\varphi,\cdots,\varphi^{(n-1)})}{\partial(c_1,\cdots,c_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial\varphi}{\partial c_1} & \frac{\partial\varphi}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial\varphi}{\partial c_n} \\ \frac{\partial\varphi^\prime}{\partial c_1} & \frac{\partial\varphi^\prime}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial\varphi^\prime}{\partial c_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial c_1} & \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial c_n} \end{vmatrix} \ne 0 \]

   3. 独立常数个数与方程阶数 相同
   4. 不是所有微分方程都有通解
   5. 微分方程的通解不包含方程的所有解
   6. 微分方程在不同区域内的通解形式可能不同

3. 微分方程的积分曲线和向量场

1. 积分曲线：一阶微分方程\(\frac{dy}{dx} = f(x, y)\)的一个解\(y = \varphi(x)\)所表示\(xy\)平面上的一条曲线称为微分方程的 积分曲线

2. 积分曲线族：其通解\(y = \varphi(x, c)\)对应\(xy\)平面上的一族曲线（每一个\(c\)都对应一条曲线），称为这族曲线为微分方程的 积分曲线族

3. 方向场：设函数\(f(x, y)\)的定义域为\(D\)，在\(D\)内每一点\((x, y)\)处都画一个以\(f(x, y)\)的值为斜率，中心在\((x, y)\)点的线段，称带有这种线段（该线段称为线素）的区域\(D\) 为微分方程 \(\frac{dy}{dx}\)所确定的 方向场

4. 等倾斜线：在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为 等倾斜线

5. 方程组积分曲线：设方程组\(\frac{dY}{dt} = F(t, Y), Y = (y_1, \dots, y_n)^T\)，其解为

   \[\left\{\begin{matrix} y_1 = \varphi_1(t) \\ \vdots \\ y_n = \varphi_n(t) \end{matrix}\right. \]

   是一参数方程，积分曲线是点\((t, \varphi_1(t), \dots, \varphi_n(t))\)的轨迹，注意这里的\(t\)是坐标分量

4. 驻定与非驻定

1. 驻定（自治）：如果方程组右端不含自变量 \(t\)：\(\frac{dY}{dt} = F(Y), Y\in D\subseteq R^n\)
2. 非驻定（非自治）：如果方程组右端含自变量 \(t\)
3. 非驻定可化为驻定方程组：令\(t = \tau\)，转为
   \[\left\{\begin{matrix} \frac{dY}{d\tau} = F(t, Y), Y\in D\subseteq R^n \\ \frac{dt}{d\tau} = 1 \end{matrix}\right. \]

5. 微分方程所定义的动力系统

1. 动力系统：对\(n\)维空间某区域\(D \subseteq R^n\) ，\(D\)到\(D\)的含参数\(t\)的同胚映射(变换)\(\Phi_t(Y)\)，如满足恒同性\(\Phi_0(Y) = Y\)和可加性\(\Phi_{t_1 + t_2}(Y) = \Phi_{t_1}(\Phi_{t_2}(Y)) = \Phi_{t_2}(\Phi_{t_1}(Y))\) ，称映射\(\Phi_t(Y)\)为\(D\) 上的 动力系统
2. 由驻定微分方程组过\(Y\in D\subseteq R^n\)的解\(\varphi(t, Y) = 0\)可定义动力系统\(\Phi_t(Y) = \varphi(𝑡, 𝑌)\)，称为微分方程所定义的动力系统