01 计算方法引论 | 数值分析

1. 误差

1. 误差的分类

1. 模型误差
2. 观测误差
3. 截断误差（方法误差）
4. 舍入误差

2. 误差的度量

1. 绝对误差$e^{\ast }$

   1. $e^{\ast }=x^{\ast }-x$，其中$x^{\ast }$为近似值，$x$为准确值
   2. $e^{\ast }\le {\epsilon }^{\ast }$，${\epsilon }^{\ast }$为 误差限
   3. 绝对误差 有量纲，可以有正负

2. 相对误差$e_r^{\ast }$

   1. $e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}$
   2. 相对误差 无量纲，可正负

3. 相对误差限${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{{\epsilon }^{\ast }}{|x^{\ast }|}$

4. 有效数字：假定准确值$𝑥$与近似值${𝑥}^{\ast }$写成小数形式, 近似值$x^{\ast }$的误差限是某一位的半个单位, 该位到$x^{\ast }$的第一位 非零 字共有$𝑛$位, 就说$x^{\ast }$有$n$位有效数字

   1. 绝对误差不超过末位有效数字的半个单位
   2. 当近似数$x^{\ast }$表示为$x^{\ast }=\pm {10}^m\times (a_1+a_2\times {10}^{-1}+\cdots +a_L\times {10}^{-(L-1)})$具有$n$位有效数字$(L\ge n)$，则$|x^{\ast }-x|\le \frac{1}{2}\times {10}^{m-n+1}$

5. 有效数与相对误差限之间关系：设近似数$x^{\ast }$表示为$x^{\ast }=\pm {10}^m\times (a_1+a_2\times {10}^{-1}+\cdots +a_L\times {10}^{-(L-1)})$，其中$a_i(i=1,2,\cdots ,L)$是$0$到$9$的一个数字。$a_1\ne 0,m$位整数

   1. 如果$x^{\ast }$具有$n$位有效数字，那么其相对误差限为${\epsilon }_r^{\ast }\le \frac{1}{2a_1}\times {10}^{-(n-1)}$
   2. 反之，若$x^{\ast }$相对误差限${\epsilon }_r^{\ast }\le \frac{1}{2a_1+1}\times {10}^{-(n-1)}$，则$x^{\ast }$至少有$n$位有效数字

3. 误差的传播

1. 四则运算：给定两近似数$x_1^{\ast },x_2^{\ast }$，及其误差限$\epsilon (x_1^{\ast }),\epsilon (x_2^{\ast })$，那么
   1. 加法：$\epsilon (x_1^{\ast }+x_2^{\ast })\le \epsilon (x_1^{\ast })+\epsilon (x_2^{\ast })$
   2. 减法：$\epsilon (x_1^{\ast }-x_2^{\ast })\le \epsilon (x_1^{\ast })+\epsilon (x_2^{\ast })$
   3. 乘法：$\epsilon (x_1^{\ast }{x}_2^{\ast })\approx |x_1^{\ast }|\epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\epsilon (x_1^{\ast })$
   4. 除法：$\epsilon (\frac{x_1^{\ast }}{x_2^{\ast }})\approx \frac{|x_1^{\ast }|\epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\epsilon (x_1^{\ast })}{|x_2^{\ast }{|}^2}$
2. 函数误差
   1. 单变量：当$f^{\prime \prime }(x^{\ast })$与$f^{\prime }(x^{\ast })$比值不大的时候，$\epsilon (f(x^{\ast }))\approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\epsilon (x^{\ast })$
   2. 多变量：当$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$是多元函数，$x_1,\dots ,x_n$的近似值为$x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast }$，则误差限$\epsilon (f(x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast }))\approx \sum _{k=1}^n|(\frac{\partial f}{\partial x_k}{)}^{\ast }|\epsilon (x_k^{\ast })$

2. 算法

1. 数值稳定性

1. 数值稳定性：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法时数值稳定的；否则称此算法为不稳定的
2. 条件数：相对误差比值$|\frac{f(x)-f(x^{\ast })}{f(x)}|/|\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}|\approx |\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}|=C_p$，其中$C_p$为计算函数值问题的 条件数
3. 病态问题：如果条件数很大，即便变量(输入)相对误差不太大，但也会引起函数值(输出)相对误差很大，出现这种情况的问题就是 病态问题

2. 算法设计注意要点

1. 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法
2. 避免两个相近的数相减
3. 防止“大数”吃掉“小数”
4. 简化计算步骤、减少运算次数（秦九韶算法）

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本文作者：RadiumGalaxy
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