08 图 | 数据结构与算法

1. 图的基本概念

1. 图的定义

图：图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成的一种数据结构，通常表示为： $G ＝ (V, E)$ ， $V$ 是顶点的集合， $E$ 是顶点之间边的集合。通常用顶点表示数据元素，边表示数据元素之间的逻辑关系
图的分类
1. 无向图
  1. 无向边：如果顶点 $v_{i}, v_{j}$ 之间的边之间没有方向，则称这条边为 无向边，表示为 $(v_{i}, v_{j})$
  2. 无向图：如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，那么该图被称为 无向图
2. 有向图
  1. 有向边：如果顶点 $v_{i}, v_{j}$ 之间的边之间有方向，则称这条边为 有向边（弧），表示为 $< v_{i}, v_{j} >$ ，其中 $v_{i}$ 被称为弧尾， $v_{j}$ 被称为弧头
  2. 有向图：如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，那么该图被称为 有向图
完全图
1. 无向图：在具有 $n$ 个顶点的无向图中，最大弧数为 $n (n - 1) / 2$
2. 有向图：在具有 $n$ 个顶点的有向图中，最大弧数为 $n (n - 1)$
顶点的度
1. 无向图的度：一个顶点 $v$ 的度是与它相关联的 边的条数
2. 有向图的度
  1. 出度：以顶点 $v$ 为 弧尾（起点） 的弧的数目
  2. 入度：以顶点 $v$ 为 弧头（终点） 的弧的数目
路径
1. 无向图的路径：在无向图 $G = (V, E)$ 中，如果存在顶点序列 $v_{p}, v_{i 1}, v_{i 2}, \dots, v_{i m}, v_{q}$ ，使得 $(v_{p}, v_{i 1}), (v_{i 1}, v_{i 2}), \dots, (v_{i m}, v_{q}) \in E$ ，则称该序列为从 $v_{p}$ 到 $v_{q}$ 的一条路径
2. 有向图的路径：在有向图 $G = (V, E)$ 中，如果存在顶点序列 $v_{p}, v_{i 1}, v_{i 2}, \dots, v_{i m}, v_{q}$ ，使得 $< v_{p}, v_{i 1} >, < v_{i 1}, v_{i 2} >, \dots, < v_{i m}, v_{q} >\in E$ ，则称该序列为从 $v_{p}$ 到 $v_{q}$ 的一条 有向路径
3. 路径的长度：路径上边的数量
4. 带权图的路径长度：路径上各边的权值之和
5. 简单路径：如果路径上的各顶点 $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}$ 互不相同，则称这样的路径为 简单路径
子图：如果图 $G = (V, E), G^{'} = (V^{'}, E^{'})$ ，其中 $V^{i} \in V, E^{'} \in E$ ，那么 $G^{'}$ 是 $G$ 的子图
连通图和连通分量（无向图）
1. 连通性：顶点的连通性：在无向图中，若从顶点 $v_{i}$ 到顶点 $v_{j} (i \neq j)$ 有路径，则称顶点 $v_{i}$ 与 $v_{j}$ 是连通的
2. 连通图：如果一个无向图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是 连通图
3. 连通分量：非连通图的极大连通子图叫做 连通分量
强连通图与强连通分量
1. 顶点的强连通性：在有向图中, 若对于每一对顶点 $v_{i}$ 和 $v_{j} (i \neq j)$ ，都存在一条从 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 和从 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 的有向路径，则称顶点 $v_{i}$ 与 $v_{j}$ 是 强连通的
2. 强连通图：如果一个有向图中任意一对顶点都是强连通的, 则称此有向图是 强连通图
3. 强连通分量：非强连通图的极大强连通子图叫做 强连通分量
生成树：假设一个连通图有 $n$ 个顶点和 $e$ 条边，其中 $n - 1$ 条边和 $n$ 个顶点构成一个极小连通子图，称该极小连通子图为此连通图的 生成树

2. 图与其他数据结构的比较

比较一
1. 在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系(1:1)
2. 在树结构中，结点之间具有层次关系(1:n)
3. 在图结构中，任意两个点之间都可能有关系(m:n)
比较二
1. 在线性结构中，数据元素之间的关系为前驱和后继
2. 在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子
3. 在图结构中，顶点之间的关系为邻接

3. 图的存储

邻接矩阵表示法
1. 顶点表：一个记录各个顶点信息的一维数组
2. 邻接矩阵：一个表示各个顶点之间的关系（边或弧）的二维数组
  1. 定义：设图 $G = (V, E)$ 是一个有 $n$ 个顶点的图，则图的邻接矩阵 $A$ 定义为
    
    $A = {\begin{cases} 1, < v_{i}, v_{j} >\in E o r (v_{i}, v_{j}) \in E \\ 0, 其他 \end{cases}$
  2. 示例
  3. 特点
    1. 无向图的邻接矩阵是对称的
    2. 有向图的邻接矩阵可能是不对称的
    3. 在无向图中, 第 $i$ 行 (列) 1 的个数就是顶点 $i$ 的度
    4. 在有向图中：第 $i$ 行 1 的个数就是顶点 $i$ 的出度，第 $j$ 列 1 的个数就是顶点 $j$ 的入度
  4. 网（带权图）的邻接矩阵
    1. 定义
      $A = {\begin{cases} W_{i, j}, < v_{i}, v_{j} >\in E o r (v_{i}, v_{j}) \in E \\ \infty, 其他 \end{cases}$
    2. 示例
邻接表
1. 邻接表:是图的一种链式存储结构
2. 边(弧)的结点结构
  
  adjvex *nextArc *info
  
  该边(弧)所指向的顶点指向下一条边(弧)指针该边(弧)相关信息指针
3. 顶点的结点结构
  
  data *firstArc
  
  顶点信息指向第一条依附该顶点的边(弧)
4. 有向图的邻接表
  1. 邻接表（出边表）
  2. 逆邻接表（入边表）
5. 邻接表存储表示
```
#define MAXVEX 10000
// 边表节点
struct EdgeNode {
    int adjvex; //边指向哪个顶点的索引
    int weight;
    EdgeNode* next;
};
// 顶点表结构
struct VertexNode {
    int value; //顶点的值，为了简化与序号相同，第一个是0
    EdgeNode *firstedge;
};
// 图结构
struct GraphList {
    VertexNode adjList[MAXVEX];
    int numVertex;
    int numEdges;
};
```
6. 邻接表建立时间复杂度：设图中有 n 个顶点，e 条边，若顶点信息即为顶点的下标，则时间复杂度为 $O (n + e)$
有向图的十字链表
无向图的邻接多重表

`adjvex`	`*nextArc`	`*info`
该边(弧)所指向的顶点	指向下一条边(弧)指针	该边(弧)相关信息指针

`data`	`*firstArc`
顶点信息	指向第一条依附该顶点的边(弧)

2. 图的遍历

1. 图的遍历

定义：从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每个顶点仅被访问一次，就叫做图的遍历
分类：深度优先搜索 $D F S$ 和广度优先搜索 $B F S$

2. 深度优先搜索 $D F S$

定义：在访问图中某一起始顶点 $v$ 后，由 $v$ 出发，访问它的任一邻接顶点 $w 1$ ；再从 $w 1$ 出发，访问与 $w 1$ 邻接但还没有访问过的顶点 $w 2$ ；然后再从 $w 2$ 出发，进行类似的访问；如此进行下去，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 $u$ 为止。接着，退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问；如果没有，就再退回一步进行搜索。重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为止
示例：

算法：运用栈(递归)结构存储待 $D F S$ 的结点

/*存储结构*/
/*g[i][j]表示第i个顶点与g[i][j]顶点有边相连接*/
/*从v0开始*/
void dfs(vector<vector<int>>& g, int i, vector<int>& visited) {
    cout << i << ' ' ;
    visited[i] = 1;
    for (int& neighbor: g[i]) {
        if (visited[neighbor] == 0) dfs(g, neighbor, visited);
    }
}

void GraphTraverse(vector<vector<int>>& g) {
    int n = g.size();
    vector<int> visited(n, 0);  // initialize visited array
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (visited[i] == 0) dfs(g, i, visited);
    }
}

时间复杂度
1. 邻接表：扫描边的时间为 $O (e)$ ；而且对所有顶点递归访问1次，所以遍历图的时间复杂性为 $O (n + e)$
2. 邻接矩阵：查找每一个顶点的所有的边，所需时间为 $O (n)$ ，则遍历图中所有的顶点所需的时间为 $O (n^{2})$

3. 广度优先搜索 $B F S$

定义：在访问了起始顶点 $v$ 之后, 由 $v$ 出发, 依次访问 $v$ 的各个未被访问过的邻接顶点 $w 1, w 2, \dots, w t$ , 然后再顺序访问 $w 1, w 2, \dots, w t$ 的所有还未被访问过的邻接顶点。再从这些访问过的顶点出发，再访问它们的所有还未被访问过的邻接顶点，如此做下去，直到图中所有顶点都被访问到为止
示例：

算法：运用队列结构存储待 $B F S$ 的结点

/* 存储结构 */
/* g[i][j]表示第i个顶点与g[i][j]顶点有边相连接 */
/* 从v0开始 */
void bfs(vector<vector<int>>& g) {
    int n = g.size();
    vector<int> visited(n, 0);  // initialize visited array
    queue<int> q;
    q.push(0);
    while (!q.empty()) {
        int i = q.front();
        cout << i << ' ' ;
        q.pop();
        for (int& neighbor: g[i]) {
            if (visited[neighbor] == 0) {
                q.push(neighbor);
            }
        }
    }
}

时间复杂度
1. 邻接表：遍历图的时间复杂性为 $O (e)$
2. 邻接矩阵：遍历图中所有的顶点所需的时间为 $O (n^{2})$

3. 并查集

1. 并查集的定义

并查集：对于一个集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}}$ ，我们还可以对集合 $S$ 进一步划分: $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{m}$ ，并查集 希望能够快速确定 $S$ 中的两两元素是否属于 $S$ 的同一子集
并查集的基本结构：用树表示集合，不同的树是不同的集合，并查集中包含了多棵树，表示并查集中不同的子集，树的集合是森林，所以并查集属于森林

2. 并查集的基本操作

初始化

int father[n];      // n:顶点数量
for (int i = 0; i < n; i++) {
    father[i] = i;
}

find：返回node所属集合树的根节点

/*递归版*/
int find(int node) {
    return father[node] == node ? node : find(father[node]);
}
/*迭代版*/
int find(int node) {
    while(father[node] != node) {
        node = father[node];
    }
    return node;
}

join：合并两个点所属的集合

void join(int node1, int node2) {
    int p1 = find(node1);
    int p2 = find(ndoe2);
    father[node1] = node2;
}

3. 并查集的优化

优化原因：上面的实现，每一次find时间复杂度为 $O (H)$ ， $H$ 为树的高度，因为没有对树做特殊处理，所以树的不断合并可能会使树严重不平衡，最坏情况每个节点都只有一个子节点，时间复杂度为 $O (n)$

优化方法

方法一：按秩合并：记录这棵树的高度（记为

r a n k

）；接下来当合并两棵树时，先对两棵树的高度进行判断，如不同，则让高度小的树的根指向高度大的根

/*initialize*/
int father[n];      // n:顶点数量
int rank[n];
for(int i=0; i<n; i++) {
    father[i] = i;
    rank[i] = 0;
}
/*find*/
int find(int node) {
    return father[node] == node ? node : find(father[node]);
}
/*join:优化*/
void join(int node1, int node2) {
    int p1 = find(node1);
    int p2 = find(node2);
    if(p1 == p2) return ;
    else if(rank[p1] > rank[p2]) {
        father[p2] = p1;
    }
    else {
        father[p1] = p2;
        if(rank[p1] == rank[p2]) ++rank[p2];
    }
}

方法二：路径压缩：查询时我们需沿着元素所在的树从下往上查询，最终找到这棵树的根，表明这个元素与其根对应元素属于同一组。因为在此查询过程中我们会经过许多节点，而如果我们能将这个元素直接指向根节点，那么就能节省许多查询的时间。同时，在查询过程中，每次经过的节点，我们都可以同时将他们一起直接指向根节点。这样做的话，我们再查询这些节点时，就能很快找到根
```
/*initialize*/
int father[n];      // n:顶点数量
for(int i=0; i<n; i++) {
    father[i] = i;
}
/*find:优化*/
int find(int node) {
    return node == father[node] ? node : (father[node] = find(father[node]));
}
/*join*/
void join(int node1, int node2) {
    int p1 = find(node1);
    int p2 = find(node2);
    father[p1] = p2;
}
```

4. 最小生成树

1. 最小生成树

生成树的代价：设 $G = (V, E)$ 是一个无向连通网， $E$ 中的每一条边上有一个权值，生成树各边的权值之和被称为 生成树的代价
最小生成树 $M S T$ ：在图 $G$ 中的所有生成树中，代价最小的生成树被称为 最小生成树
最小生成树构造准则
1. 尽可能用网络中权值最小的边
2. 必须使用且仅使用 $n - 1$ 条边来联结网络中的 n个顶点
3. 不能使用产生回路的边

2. $P r i m$ 算法

基本思想：从连通网络 $N = V, E$ 中的某一顶点 $u_{0}$ 出发，选择与它关联的具有最小权值的边 $(u_{0}, v)$ ，将其顶点加入到生成树的顶点集合 $U$ 中。以后每一步从一个顶点在 $U$ 中，而另一个顶点不在 $U$ 中的各条边中选择权值最小的边 $(u, v)$ ,把该边加入到生成树的边集中，把它的顶点加入到集合 $U$ 中；如此重复执行，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 $U$ 中为止
示例：从v2开始执行 $P r i m$ 算法
注意
1. 若候选轻权边集中的轻权边不止一条，可任选其中的一条扩充到生成树中
2. 连通图的最小生成树不一定是唯一的，但它们的权相等
3. 设连通网络有 $n$ 个顶点, 则该算法的时间复杂度为 $O (n^{2})$ ，它适用于边稠密的网络

算法

/*
 * 存储结构：g[i][j]表示第i个顶点与第j个顶点的权值
 * 从beginNode开始Prim算法
 * 返回选择的边的数组
 */
struct edge {
    int begin;     // begin of the edge
    int end;       // end of the edge
    int weight;    // weight of the edge
    edge(int begin, int end, int weight):begin(begin), end(end), weight(weight){}
};
vector<edge> Prim(vector<vector<int>>& g, const int beginNode) {
    int n = g.size();
    vector<int> lowcost(n, 0);//lowcost存储生成树顶点集内顶点到树外各顶点各边上当前最小权值
    vector<int> adjvex(n, 0); // adjvex 记录生成树顶点集合外各顶点距离集合内哪个顶点最近
    vector<edge> MST;       // MST 存储最小生成树的边，最后返回
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        lowcost[i] = g[beginNode][i];  // 起始顶点到各点的最小代价
        adjvex[i] = beginNode;
    }
    adjvex[beginNode] = -1;  // -1 表示已经访问
    for(int i = 0; i < n; ++i) { 
        if(i == beginNode) continue;
        int minCost = INT_MAX, pos = -1;
        for(int j = 0; j < n; ++j) {
            if(adjvex[j] != -1 && minCost > lowcost[j]) {  //选择侯选边最小边
                minCost = lowcost[j];
                pos = j;
            }
        }
        if(pos != -1) { // pos != -1 表示找到要求顶点
            adjvex[pos] = -1;
            MST.push_back( edge(adjvex[pos], pos, g[adjvex[pos][pos]]) );
            for(int j = 0; j < n; ++j) {        //更新最小代价数组
                if(adjvex[j] != -1 && lowcost[j] > g[pos][j]) {
                    lowcost[j] = g[pos][j];
                    adjvex[j] = pos;
                }
            }
        }
    }
    return MST;
}

3. $K r u s k a l$ 算法

基本思想：设有一个有 $n$ 个顶点的连通网络 $N = {V, E}$ ,最初先构造一个只有 $n$ 个顶点，没有边的非连通图 $T = {V, \emptyset}$ 图中每个顶点自成一个连通分量。当在 $E$ 中选到一条具有最小权值的边时,若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 $T$ 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止
示例

算法

/*
 * 存储结构：边的数组, n为结点数量
 * Kruskal 算法
 * 返回选择的边的数组
 */
struct edge {
    int begin;     // begin of the edge
    int end;       // end of the edge
    int weight;    // weight of the edge
    edge(int begin, int end, int weight):begin(begin), end(end), weight(weight){}
};
/*并查集*/
vector<int> father;
int find(int node) {
    return (father[node] == node) ? node : find(father[node]);
}
void join(int a, int b) {
    father[find(a)] = find(b);
}
/*Kruskal*/
vector<edge> Kruskal(vector<edge>& edges, const int n) {
    father.resize(n);
    vector<edge> MST;
    sort(edges.begin(), edges.end(), [](const edge& a, const edge& b) {
        return a.weight < b.weight;
    });     // 将边按权值从小到大排序
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;  //初始化各节点的根为自己
    }
    for (int i = 0; i < edges.size() && MST.size() < n - 1; ++i) {
        int u = edges[i].begin, v = edges[i].end;
        if(find(u) != find(v)) {
            MST.push_back(edges[i]);
            join(u, v);
        }
    }
    return MST;
}

5. 拓扑排序

1. $A O V$ 网

$A O V$ 网：用顶点表示活动，用有向边 $< v i, v j >$ 表示活动间的优先关系。 $v i$ 必须先于活动 $v j$ 进行，这种有向图叫做顶点表示活动的AOV网络 $(A c t i v i t y O n V e r t i c e s)$
如果AOV网络中存在有向环，此 $A O V$ 网络所代表的工程是不可行的
拓扑序列: 即将各个顶点 (代表各个活动)排列成一个线性有序的序列，使得所有弧尾结点都排在弧头结点的前面
拓扑排序：构造 $A O V$ 网络全部顶点的拓扑有序序列的运算就叫做拓扑排序

2. 拓扑排序

基本思想：在 $A O V$ 网络中选一个没有直接前驱的顶点，从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边，重复以上步骤，全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。说明图中还剩下一些顶点, 它们都有直接前驱。这时网络中必存在有向环
示例：

算法

/*
 * 存储结构：g[i][j]表示第i个顶点指向g[i][j]
 * 拓扑排序 算法
 * 返回拓扑序列
 */
vector<int> top_sort(vector<vector<int>>& g) {
    int n = g.size();
    vector<int> indeg(n, 0);  //存储顶点的入度
    vector<int> ans;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for(int& node: g[i]) {
            ++indeg[node];
        }
    }
    queue<int> q;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(indeg[i] == 0) {
            q.push(i);      // 选择没有直接前驱的顶点
        }
    }
    while(!q.empty()) {
        int node = q.front();
        ans.push_back(node);
        q.pop();
        for (int& i: g[node]) {
            --indeg[i];     // 去除边
            if(indeg[i] == 0) {
                q.push(i);
            }
        }
    }
    if(ans.size() != n) cout << "exist ring, can not sort" << endl;
    return ans.size() == n ? ans : vector<int>();
}

6. $A O E$ 网

1. $A O E$ 网

$A O E$ 网：如果在无有向环的带权有向图中，用有向边表示一个工程中的各项活动，用边上的权值表示活动的持续时间，用顶点表示事件，则这样的有向图叫做用边表示活动的网络，被称为 $A O E$ 网 $(A c t i v i t y O n E d g e s)$ 网络
意义
1. 完成整个工程至少需要多少时间(假设网络中没有环)
2. 为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动
源点与汇点：在 $A O E$ 网络中, 有些活动顺序进行，有些活动并行进行，入度为零的点叫源点，出度为零的点叫汇点
关键路径：完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和，这条路径长度最长的路径就叫做关键路径
关键活动：关键路径上的活动为 关键活动

2. 关键路径求解算法

事件最早可能开始的时间ve[i]
1. 概念：从源点 $v_{0}$ 到顶点 $v_{i}$ 的最长路径长度
2. 算法：从ve[0] = 0开始往前递推，ve[i] = max{ve[j] + time<vj, vi>}
事件最迟允许发生的时间vl[i]
1. 概念：在保证汇点 $v_{n - 1}$ 在ve[n-1]时刻完成的前提下，事件 $v_{i}$ 的允许的最迟开始时间
2. 算法：从vl[n-1]=ve[n-1]开始开始反推，vl[i] = min{vl[j] - time<vi, vj>}
活动开始的最早时间e[k]
1. 概念：设活动ak在带权有向边<vi, vj>上，其持续时间为time<vi, vj>，其最早发生时间e[k]=ve[i]
活动最迟允许开始时间l[k]
1. 概念：l[k]是在不会引起时间延误的前提下, 该活动允许的最迟开始时间，l[k] = vl[j] - time<i, j>
时间余量l[k]-e[k]：表示活动 ak 的最早可能开始时间和最迟允许开始时间的时间余量。l[k] == e[k] 表示活动 ak 是没有时间余量的关键活动
示例

vertex 1 2 3 4 5 6 7 8

ve 0 8 12 22 28 40 46 58

vl 0 8 12 22 28 40 46 58

由公式计算出：

edge(activity) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

e 0 8 12 12 22 22 28 40 46

l 0 8 12 12 22 32 28 40 46

因此除了a6不是关键活动，其他都是，因此得出关键路径

`vertex`	1	2	3	4	5	6	7	8
`ve`	0	8	12	22	28	40	46	58
`vl`	0	8	12	22	28	40	46	58

`edge(activity)`	1	2	3	4	5	6	7	8	9
`e`	0	8	12	12	22	22	28	40	46
`l`	0	8	12	12	22	32	28	40	46

算法

// time[i][j]表示从i到j的边的权值，如果没有边相连，值为 0
// 以v0作为源点，vn作为汇点，且无有向环
struct {
    int begin;  // begin of the edge
    int end;    // end of the edge
    int weight; // weight of the edge
    edge(int begin, int end, int weight):begin(begin), end(end), weight(weight){}
};
vector<edge> Critical_Path(vector<vector<int>>& time) {
    int n = time.size();    //n -- vertex number; 
    vector<int> ve(n), vl(n);
    vector<edge> edges;
    vector<edge> critical_path;
    ve[0] = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int minVal = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (time[i][j] != 0) {
                edges.push_back(edge(i, j, time[i][j]));
                minVal = min(minVal, time[i][j]);
            }
        }
        ve[i] = minVal;
    }
    vl[n - 1] = ve[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
        int maxVal = INT_MAX;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if(time[i][j] != 0) {
                maxVal = max(maxVal, time[i][j]);
            }
        }
        vl[i] = maxVal;
    }
    vector<int> e(m), l(m);
    for (int i = 0; i < edges.size(); ++i) {
        e[i] = ve[edges[i].begin];
        l[i] = vl[edges[i].end] - edges[i].weight;
        if(e[i] == l[i]) {
            critical_path.push_back(edges[i]);
        }
    }
    return critical_path;
}

7. 最短路径

1. 最短路径问题

最短路径：如果图是一个带权图，则路径长度为路径上各边的权值之和，两个顶点之间的路径长度最短的路径为两个点之间的最短路径，其长度是 最短路径长度
算法
1. $D i j k s t r a$ 算法：边上权值非负情形的单源最短路径问题
2. $F l o y d$ 算法：所有顶点之间的最短路径

2. $D i j k s t r a$ 算法

基本思想：按路径长度的递增次序, 逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从顶点v到其它各顶点的最短路径全部求出为止

示例：计算从v4顶点到各顶点的最短路径(pre表示连接的前驱点，dist表示当前的最短路径长度)

	`v1`	`v2`	`v3`	`v4`	`v5`	`v6`
`dist`	$\infty$	20	$\infty$	0	$\infty$	15
`pre`	`v4`	`v4`	`v4`	`v4`	`v4`	`v4`
`dist`	30	20	$\infty$	✔️	$\infty$	15
`pre`	`v2`	`v4`	`v4`	✔️	`v4`	`v4`
`dist`	30	20	45	✔️	50	✔️
`pre`	`v2`	`v4`	`v1`	✔️	`v2`	✔️
`dist`	30	✔️	45	✔️	50	✔️
`pre`	`v2`	✔️	`v1`	✔️	`v2`	✔️
`dist`	✔️	✔️	45	✔️	50	✔️
`pre`	✔️	✔️	`v1`	✔️	`v2`	✔️
`dist`	✔️	✔️	✔️	✔️	50	✔️
`pre`	✔️	✔️	✔️	✔️	`v2`	✔️
`dist`	✔️	✔️	✔️	✔️	✔️	✔️
`pre`	✔️	✔️	✔️	✔️	✔️	✔️

因此从顶点v4出发到其余顶点的最短路径及长度

`vertex`	`length`	`path`
`v1`	30	`v4->v2->v1`
`v2`	20	`v4->v2`
`v3`	45	`v4->v2->v1->v3`
`v4`	0	`v4`
`v5`	50	`v4->v2->v5`
`v6`	15	`v4->v6`

算法

基于dist[]数组的

D i j k s t r a

算法（时间复杂度

O (n^{2})

，如果求每个点到各点的最短路径则

O (n^{3})

）

/*
 * 从beginNode开始的到各顶点的最短路径
 * g[i][0:2]表示g[0]点到g[1]点的权g[2]
 * n 为顶点数量
 */
vector<int> Dijkstra(vector<vector<int>>& g, int n, int beginNode) {
    int inf = 1e9;
    vector<vector<int>> adj(n, vector<int>(n, inf));
    for(vector<int>& edge: g) {
        adj[edge[0]][edge[1]] = edge[2];
    }
    vector<bool> visited(n, false);
    vector<int> dist(n, inf);
    dist[beginNode] = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        int x = -1;
        for(int j = 0; j < n; ++j) {
            if(!visited[j] && (x == -1 || dist[j] < dist[x])) {
                x = j;
            }
        }
        visited[x] = true;
        for(int j = 0; j < n; ++j) {
            dist[j] = min(dist[j], dist[x] + adj[x][j]);
        }
    }
    return dist;
}

使用一个小根堆来寻找未确定节点中与起点距离最近的点的

D i j k s t r a

算法

/*
 * 从beginNode开始的到各顶点的最短路径
 * g[i][0:2]表示g[0]点到g[1]点的权g[2]
 * n 为顶点数量
 */
vector<int> Dijkstra(vector<vector<int>>& g, int n, int beginNode) {
    int inf = 1e9;
    vector<vector<pair<int, int>>> adj(n);
    for (vector<int>& edge: g) {
        int x = edge[0], y = edge[1];
        adj[x].push_back({y, edge[2]});
    }

    vector<int> dist(n, inf);
    dist[beginNode] = 0;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> q;
    q.push({0, beginNode});
    while (!q.empty()) {
        auto p = q.top();
        q.pop();
        int val = p.first, x = p.second;
        if (dist[x] < val) {
            continue;
        }
        for (auto &e : adj[x]) {
            int y = e.first, d = dist[x] + e.second;
            if (d < dist[y]) {
                dist[y] = d;
                q.push({d, y});
            }
        }
    }
    return dist;
}

3. $F l o y d$ 算法

基本思想：从初始的邻接矩阵 $A_{0}$ 开始，递推地生成矩阵序列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$
递推公式： $A_{0} [i] [j] = C [i] [j]; A_{k + 1} [i] [j] = m i n (A_{k} [i] [j], A_{k} [i] [k] + A_{k} [k] [j])$
路径记录：显然， $A$ 中记录了所有顶点对之间的最短路径长度。若要求得到最短路径本身，还必须设置一个路径矩阵 $P [n] [n]$ ，在第 $k$ 次迭代中求得的path[i][j]，是从i到j的中间点序号不大于 $k$ 的最短路径上顶点i的后继顶点。算法结束时，由path[i][j]的值就可以得到从i到j的最短路径上的各个顶点

算法

/*
 * g[i][0:2]表示g[0]点到g[1]点的权g[2]
 * n 为顶点数量
 */
vector<vector<int>> Floyd(vector<vector<int>>& g, int n) {
    int inf = 1e9;
    vector<vector<int>> A(n, vector<int>(n, inf));
    for(vector<int>& edge: g) {
        A[edge[0]][edge[1]] = edge[2];
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        A[i][i] = 0;
    }
    for(int k = 0; k < n; ++k) {
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            for(int j = 0; j < n; ++j) {
                A[i][j] = min(A[i][j], A[i][k] + A[k][j]);
            }
        }
    }
    return A;
}

__EOF__

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08 图 | 数据结构与算法

发表于 2023-01-27 22:14阅读：65评论：0推荐：0

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