08 假设检验 | 概率论与数理统计

1. 假设检验

1. 假设检验问题

1. 假设

   1. 零假设（原假设）$H_0:\mu ={\mu }_0$
   2. 备择假设（备选假设）$H_1:\mu \ne {\mu }_0$

2. 实际推断原理：由于要检验的假设涉及总体均值$\mu$，因此借助$\mu$的无偏估计量$\bar{x}$这一统计量来进行判断

3. 拒绝域：可适当选定一正数$k$，使当观察值$\bar{x}$满足$\frac{|\bar{x}-{\mu }_0|}{\sigma /\sqrt{n}}\ge k$，就拒绝假设$H_0$；为了确定常数$k$，我们考虑统计量，当$H_0$成立时，$\frac{|\bar{x}-{\mu }_0|}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，当$H_0$成立时，$|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|>z_{\alpha /2}$是概率为$\alpha$的小概率事件；则当统计量$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$进入$(-\mathrm{\infty },-z_{\alpha /2}]\cup [z_{\alpha /2},+\mathrm{\infty })$区域, 就决策否定$H_0$，这个区域就叫 拒绝域

4. 假设检验的基本思想：实质上是带有某种概率性质的反证法。为了检验一个假设$H_0$是否正确，首先假定该假设$H_0$正确，然后根据抽取到的样本对假设$H_0$作出接受或者拒绝的决策，如果样本观察值导致了不合理的现象发生, 就应拒绝假设$H_0$，否则应接受假设$H_0$

5. 两类错误

   1. 第一类错误（弃真）：当$H_0$为真的时候拒绝$H_0$
   2. 第二类错误（取伪）：当$H_0$为假的时候接受$H_0$
   3. 记号
      1. 显著水平：$\alpha =$ 发生第一类错误的概率
      2. $\beta =$ 发生第二类错误的概率
   4. 当然,我们希望犯两类错误的概率都尽可能的小，在实际问题中, 通常的做法是: 先限制犯第一类错误的概率$\alpha$，（显著性检验问题）即根据实际情况, 指定一个较小的数$\alpha$，就可以确定上述的数$k$, 从而可确定拒绝域

   真实情况\所作判断	接受$H_0$	拒绝$H_0$
   $H_0$为真	正确	第一类错误
   $H_0$为假	第二类错误	正确

关于零假设与备择假设的选取
在控制犯第一类错误的概率$\alpha$的原则下，使得采取拒绝$H_0$的决策变得较慎重，即$H_0$得到特别的保护
因而,通常把有把握的、有经验的、默认的结论作为原假设, 或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误

2. 假设检验分类

1. 双边假设
   1. 双边备择假设：在$H_0:\mu ={\mu }_0$和$H_1:\mu \ne {\mu }_0$中，备择假设$H_1$表示$\mu$可能大于${\mu }_0$，也可能小于${\mu }_0$，称为 双边备择假设
   2. 双边假设检验：形如$H_0:\mu ={\mu }_0$和$H_1:\mu \ne {\mu }_0$的假设检验被称为 双边假设检验
2. 单边假设检验
   1. 分类
      1. 右边检验：$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$
      2. 左边检验：$H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$
   2. 拒绝域（显著性水平为$\alpha$）
      1. 右边检验：$z\ge z_{\alpha }$
      2. 左边检验：$z\le -z_{\alpha }$

2. 正态总体均值的假设检验

1. 单个总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$均值$\mu$的检验

1. ${\sigma }^2$已知：Z检验法，取统计量$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

   检验		拒绝域
   双边检验	$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$|z|>z_{\alpha /2}$
   左边检验	$H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$	$z\le -z_{\alpha }$
   右边检验	$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$	$z\ge z_{\alpha }$

2. ${\sigma }^2$未知：t检验法：当$H_0$为真的时候，$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$，取统计量$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$

   检验		拒绝域
   双边检验	$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$|t|>t_{\alpha /2}(n-1)$
   左边检验	$H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$	$t\le -t_{\alpha }(n-1)$
   右边检验	$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$	$t\ge t_{\alpha }(n-1)$

2. 双总体均值差的检验

1. ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$已知：Z体检，取统计量
   $$Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\delta }{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$$

   检验		拒绝域
   双边检验	$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$	$|z|>z_{\alpha /2}$
   左边检验	$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\ge \delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2<\delta$	$z\le -z_{\alpha }$
   右边检验	$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le \delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2>\delta$	$z\ge z_{\alpha }$

2. ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$未知：t检验，取统计量
   $$t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2),S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

   检验		拒绝域
   双边检验	$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta$	$|t|>t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)$
   左边检验	$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\ge \delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2<\delta$	$t\le -t_{\alpha }(n_1+n_2-2)$
   右边检验	$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le \delta ,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2>\delta$	$t\ge t_{\alpha }(n_1+n_2-2)$

3. 基于成对数据的检验（$t$检验）

• 给定两组数据，计算出各组数据的数据差$d_i=x_i-y_i$，设$D_i=X_i-Y_i$来自正态总体$N({\mu }_D,{\sigma }_D^2)$，这里${\mu }_D,{\sigma }_D^2$均为未知，随机误差$d_i$可以认为服从正态分布，其均值为零。需检验假设$H_0:{\mu }_D=0,H_1:{\mu }_D\ne 0$，拒绝域$|t|=|\frac{\bar{d}-0}{s_D/\sqrt{n}}|\ge t_{\alpha /2}(n-1)$

3. 正态方差的假设检验

1. 单个总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$方差${\sigma }^2$的检验（${\chi }^2$检验法）

1. 设总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\mu ,\sigma$未知，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自$X$的样本，给定显著性水平$\alpha$
2. ${\sigma }^2$的检验问题：${\chi }^2$检验法：取统计量${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$

   检验		拒绝域
   双边检验	$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$	${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)\cup {\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$
   左边检验	$H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$
   右边检验	$H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha }^2(n-1)$

2. 双总体方差的检验（$F$检验）

• 取检验统计量$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

  检验		拒绝域
  双边检验	$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$	$F\le F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)\cup F\ge F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$
  左边检验	$H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$	$F\le F_{1-\alpha }(n_1-1,n_2-1)$
  右边检验	$H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$	$F\ge F_{\alpha }(n_1-1,n_2-1)$

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本文作者：RadiumGalaxy
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