05 二次曲线的一般结论 | 解析几何

1. 二次曲线的相关概念

1. 二次曲线

• 平面上由二次方程：$F(x,y)\equiv a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

2. 二次曲线的一般记号

1. $F_1(x,y)\equiv a_{11}x+a_{12}y+a_{13}$，对应带有 $x$ 的部分
2. $F_2(x,y)\equiv a_{12}x+a_{22}y+a_{23}$，对应带有 $y$ 的部分
3. $F_3(x,y)\equiv a_{13}x+a_{23}y+a_{33}$，对应带有 非二次 的部分
4. $\mathrm{\Phi }(x,y)\equiv a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2$，对应带有 二次 的部分
5. $F(x,y)=x{F}_1(x,y)+y{F}_2(x,y)+F_3(x,y)$
6. $I$
   $$I_1=a_{11}+a_{22},I_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|,I_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right|$$

7. 二次曲线$F(x,y)$的矩阵
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right)$$
   
8. $\mathrm{\Phi }(x,y)$的矩阵
   $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)$$

9. $K$
   $$K_1=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{13}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{23}& a_{33}\end{array}\right|$$

2. 二次曲线与直线的相关位置

讨论二次曲线$F(x,y)\equiv a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$和直线

$$\{\begin{array}{c}x=x_0+Xt\\ y=y_0+Yt\end{array}$$

的交点，将直线方程代入二次曲线得到$\mathrm{\Phi }(X,Y)\cdot t^2+2[F_1(x_0,y_0)X+F_2(x_0,y_0)Y]t+F(x_0,y_0)=0$

1. 当$\mathrm{\Phi }(X,Y)\ne 0$，该方程的判别式$\mathrm{\Delta }=[F_1(x_0,y_0)X+F_2(x_{)},y_0)Y{]}^2-\mathrm{\Phi }(X,Y)\cdot F(x_0,y_0)$
   1. $\mathrm{\Delta }>0$，有2个不同的实交点
   2. $\mathrm{\Delta }=0$，有2个重合的实交点
   3. $\mathrm{\Delta }<0$，有2个共轭的虚交点，无实交点
2. 当$\mathrm{\Phi }(X,Y)=0$
   1. $F_1(x_0,y_0)X+F_2(x_0,y_0)Y\ne 0$，有唯一的实交点
   2. $F_1(x_0,y_0)X+F_2(x_0,y_0)Y=0$
      1. $F(x_0,y_0)=0$，直线全部都在二次曲线上
      2. $F(x_0,y_0)\ne 0$，没有交点

无交点和无实交点是不同的概念
无实交点但是有虚交点，说明在复平面上是相交的，只是实坐标平面无法表示出来

3. 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

1. 二次曲线的渐近方向

1. 二次曲线的渐近方向：满足条件 $\mathrm{\Phi }(X,Y)=0$的方向$X:Y$叫做二次曲线的 渐近方向，否则叫非渐近方向
2. 渐近方向求法：由于二次曲线的二次项系数不会全为0，因此当$Y\ne 0$，有$a_{11}(\frac{X}{Y}{)}^2+2a_{12}(\frac{X}{Y})+a_{22}=0$
3. 定理：二次曲线的渐近方向总存在且 最多有两个
4. 二次曲线根据渐近方向分类：满足条件$\mathrm{\Phi }(X,Y)=0$的方向$X:Y$叫做二次曲线的渐近方向，方程$a_{11}(\frac{X}{Y}{)}^2+2a_{12}(\frac{X}{Y})+a_{22}=0$的判别式$\mathrm{\Delta }=(2a_{12}{)}^2-4a_{11}{a}_{22}=-4I_2$
   1. 椭圆型：当$I_2>0$，二次曲线的渐近方向是一对共轭虚方向
   2. 抛物型：当$I_2=0$，二次曲线有 一个实渐近方向
   3. 双曲线型：当$I_2<0$，二次曲线有 两个实渐近方向
      

2. 二次曲线的中心

1. 二次曲线的弦：当$\mathrm{\Phi }(X,Y)\ne 0$时，非渐近方向的直线与二次曲线总有两个交点，我们把两个交点的连线叫做二次曲线的 弦
2. 二次曲线的中心：当点$C$是二次曲线的通过它的所有弦的中点，则点$C$叫做 二次曲线的中心
3. 定理：点$C(x_0,y_0)$是二次曲线的中心的 充要条件 是$F_1(x_0,y_0)=F_2(x_0,y_0)=0$
4. 二次曲线根据中心分类
   1. 中心二次曲线：当$I_2\ne 0$，有唯一解，即 有一个中心
   2. 无心二次曲线：当$I_2=0$，而$\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}\ne \frac{a_{13}}{a_{23}}$，即没有中心
   3. 线心二次曲线：当$I_2=0$，而$\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}=\frac{a_{13}}{a_{23}}$，方程组有无数多解, 整个直线上的点都是中心

3. 二次曲线的渐近线

1. 渐近线：过二次曲线的 中心，并且以 渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的 渐近线
2. 渐近线性质
   1. 二次曲线与它的渐近线或者 没有交点，或者整条直线 都在 这条二次曲线上
   2. 以直线$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$为渐近线的二次曲线方程总能写成$(A_{1}x+B_{1}y+C_1)(Ax+By+C)+D=0$的形式

4. 二次曲线的切线

1. 切线

• 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点

2. 奇异点和正则点

1. 奇异点：二次曲线上满足$F_1(x_0,y_0)=F_2(x_0,y_0)=0$的点$(x_{)},y_0)$叫做二次曲线的 奇异点，简称奇点
2. 正则点：二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的 正则点
3. 如果点$(x_0,y_0)$是二次曲线的正则点，那么通过$(x_0,y_0)$的切线方程为$(x-x_0)F_1(x_0,y_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0)=0$
4. 推论：如果点$(x_0,y_0)$是二次曲线的正则点，那么通过$(x_0,y_0)$的切线方程为$a_{11}{x}_{0}x+a_{12}(x_{0}y+x{y}_0)+a_{22}{y}_{0}y+a_{13}(x+x_0)+a_{23}(y+y_0)+a_{33}=0$
5. 如果点$(x_0,y_0)$是二次曲线的奇异点，那么通过$(x_0,y_0)$的切线不确定，或者过$(x_0,y_0)$的没一条直线都是二次曲线的切线

5. 二次曲线的直径

1. 二次曲线的直径

1. 定理：二次曲线的一组平行弦的 中点轨迹是一条直线
2. 直径：二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的 直径，它所对应的平行弦，叫做 共轭于这条直线的 共轭弦，而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径
3. 直径的表示：二次曲线的平行于方向$X:Y$的一组平行弦的直径方程为$X{F}_1(x,y)+Y{F}_2(x,y)=0$
   • 推论：如果二次曲线的一族平行弦的斜率为$k$，那么共轭于这族平行弦的直径方程是$F_1(x,y)+k{F}_2(x,y)=0$
4. 二次曲线的直径分类
   1. 中心二次曲线：中心二次曲线的直径通过 曲线中心
   2. 无心二次曲线：无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向（$a_{22}:-a_{12}$）
   3. 线心二次曲线：线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线
5. 直线束：考察直径方程$X{F}_1(x,y)+Y{F}_2(x,y)=0$，可以看作系数为$X,Y$，基础直线为$F_1(x,y)=0,F_2(x,y)=0$的 直线束
   1. 当$\frac{a_{11}}{a_{12}}\ne \frac{a_{12}}{a_{22}}$，即二次曲线为中心曲线时，它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心
   2. 当$\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}\ne \frac{a_{13}}{a_{23}}$，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行直线束，其方向为二次曲线的渐近方向$a_{22}:-a_{12}$
   3. 当$\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}=\frac{a_{13}}{a_{23}}$，即二次曲线为线心曲线时，二次曲线仅有一条直径，它的方程为其中心直线
6. 共轭方向与共轭直径
   1. 共轭方向：我们把二次曲线的与非渐近方向$X:Y$共轭的直径方向$X^{\prime }:Y^{\prime }=-(a_{12}X+a_{22}Y):(a_{11}X+a_{12}Y)$叫做非渐近方向$X:Y$的 共轭方向
   2. $\mathrm{\Phi }(X^{\prime }:Y^{\prime })=a_{11}(a_{12}X+a_{22}Y{)}^2{t}^2-2a_{12}(a_{12}X+a_{22}Y)=I_2\mathrm{\Phi }(X,Y)t^2$
      1. 当$I_2\ne 0$时，二次曲线为中心曲线，$\mathrm{\Phi }(X^{\prime },Y^{\prime })\ne 0$，即中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是 非渐近方向
      2. 当$I_2=0$时，二次曲线为非中心曲线，$\mathrm{\Phi }(X^{\prime },Y^{\prime })=0$，即非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是 渐近方向
   3. 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对 共轭直径，且$a_{11}X{X}^{\prime }+a_{12}(X{Y}^{\prime }+X^{\prime }Y)+a_{22}Y{Y}^{\prime }=0$
      • 推论：一对共轭直径的斜率满足$a_{22}k{k}^{\prime }+a_{12}(k+k^{\prime })+a_{11}=0$

2. 二次曲线的主直径

1. 主直径：二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的 主方向；显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点
2. 二次曲线的特征方程与特征根
   1. 根据主直径的定义，$X:Y$成为中心二次曲线的主方向的条件是
      $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}X+a_{12}Y=\lambda X\\ a_{12}X+a_{22}Y=\lambda Y\end{array}$$
      这是一个关于$X:Y$的齐次线性方程组，而$X:Y$不能全为0，因此
      $$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}\\ a-12& a_{22}-\lambda \end{array}\right|=0\iff {\lambda }^2-I_1\lambda +I_2=0$$
      ${\lambda }^2-I_1\lambda +I_2=0$叫做二次曲线的 特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的 特征根
   2. 定理
      1. 二次曲线的特征根都是实数
      2. 二次曲线的特征根不能全为零
      3. 由二次曲线的特征根$\lambda$确定的主方向$X:Y$，当$\lambda \ne 0$，为二次曲线的非渐近方向，当$\lambda =0$，为二次曲线的渐近主方向
      4. 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径
   3. 主直径方向
      $$\begin{array}{r}{X}_1:Y_1=a_{12}:({\lambda }_1-a_{11})=({\lambda }_1-a_{22}):a_{12}\\ X_2:Y_2=a_{12}:({\lambda }_2-a_{11})=({\lambda }_2-a_{22}):a_{12}\end{array}$$

6. 二次曲线方程的化简与分类

1. 平面直角坐标变换

1. 移轴公式：给定平面内一点$P$的旧坐标$(x,y)$与新坐标$(x^{\prime },y^{\prime })$，新坐标原点$O^{\prime }$在旧坐标系下的坐标为$(x_0,y_0)$

   $$\{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+x_0\\ y=y^{\prime }+y_0\end{array}or\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-x_0\\ y^{\prime }=y-y_0\end{array}$$

2. 转轴公式：设$\theta$为坐标轴的旋转角

   $$\{\begin{array}{c}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta \end{array}or\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\cos \theta +y\sin \theta \\ y^{\prime }=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$$

   

3. 设在直角坐标系$xOy$里给定了两条相互垂直的直线$l_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0;l_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0(A_1{A}_2+B_1{B}_2=0)$，其中$l_1$为横轴$O^{\prime }{x}^{\prime }$，$l_2$为纵轴$O^{\prime }{y}^{\prime }$，设点$M$的旧坐标与新坐标分别是$(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })$，则新的坐标转换公式为

   $$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\pm \frac{A_{2}x+B_{2}y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\\ y^{\prime }=\pm \frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}\end{array}$$

   为了使新坐标系仍然是 右手坐标系，上面第一式右端的$x$的系数应该与第二式的右端$y$的系数 相等

2. 二次曲线方程的化简与分类

1. 二次曲线方程在移轴与转轴下的系数的变换规律
   1. 移轴（新坐标原点$O^{\prime }$在旧坐标系下的坐标为$(x_0,y_0)$）
      1. 二次项系数不变
      2. 一次项系数变为$2F_1(x_0,y_0)$和$2F_2(x_0,y_0)$
      3. 常数项变为$F(x_0,y_0)$
      4. 当二次曲线有中心时，作移轴，使新原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失（$F_1(x_0,y_0)=F_2(x_0,y_0)=0$）
   2. 转轴
      1. 二次项系数一般要改变
      2. 一次项系数一般要改变
         $$\{\begin{array}{c}{a}_{13}^{\prime }=a_{13}\cos \theta +a_{23}\sin \theta \\ a_{23}^{\prime }=-a_{13}\sin \theta +a_{23}\cos \theta \end{array}or\{\begin{array}{c}{a}_{13}=a_{13}^{\prime }\cos \theta -a_{23}^{\prime }\sin \theta \\ a_{23}=a_{13}^{\prime }\sin \theta +a_{23}^{\prime }\cos \theta \end{array}$$
         和转轴公式对应
      3. 常数项不变
      4. 利用转轴使二次曲线方程中的$a_{12}^{\prime }=0$来消去$xy$项，为此选取旋转角$\theta$，其中$\cot 2\theta =\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}$
2. 通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置
   1. 如果是中心曲线，新坐标原点与曲线的中心重合
   2. 如果是无心曲线，新坐标原点与曲线的顶点重合
   3. 如果是线心曲线，新坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合
      因此，二次曲线方程的化简 ，只要先求出曲线的主直径， 然后以它作为新坐标轴，作坐标变换即可
3. 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个
   1. 中心曲线：$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}=0,a_{11}{a}_{22}\ne 0$
   2. 无心曲线：$a_{22}{y}^2+2a_{13}x=0,a_{22}{a}_{13}\ne 0$
   3. 线心曲线：$a_{22}{y}^2+a_{33}=0,a_{22}\ne 0$
4. 通过适当的选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式
   1. 椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
   2. 虚椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$
   3. 双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
   4. 点或称两相交于实点的共轭虚直线：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$
   5. 两相交直线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$
   6. 抛物线：$y^2=2px$
   7. 两平行直线：$y^2=a^2$
   8. 两平行共轭虚直线：$y^2=-a^2$
   9. 两重合直线：$y^2=0$

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本文作者：RadiumGalaxy
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