05 二次曲线的一般结论 | 解析几何
二次曲线的相关性质
1. 二次曲线的相关概念
1. 二次曲线
- 平面上由二次方程：\(F(x, y)\equiv a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33} = 0\)
2. 二次曲线的一般记号
- \(F_1(x,y)\equiv a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\)，对应带有 \(x\) 的部分
- \(F_2(x,y)\equiv a_{12}x+a_{22}y+a_{23}\)，对应带有 \(y\) 的部分
- \(F_3(x,y)\equiv a_{13}x+a_{23}y+a_{33}\)，对应带有 非二次 的部分
- \(\Phi(x,y)\equiv a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2\)，对应带有 二次 的部分
- \(F(x,y) = xF_1(x,y)+yF_2(x,y)+F_3(x,y)\)
- \(I\)\[I_1 = a_{11} + a_{22}, I_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}, I_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} \]
- 二次曲线\(F(x,y)\)的矩阵\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \]
- \(\Phi(x,y)\)的矩阵\[A^{\ast} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} \]
- \(K\)\[K_1 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} \]
2. 二次曲线与直线的相关位置
讨论二次曲线\(F(x, y)\equiv a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33} = 0\)和直线
\[\left\{\begin{matrix}
x = x_0 +Xt \\
y = y_0 +Yt
\end{matrix}\right.
\]
的交点，将直线方程代入二次曲线得到\(\Phi(X,Y)\cdot t^2+2[F_1(x_0, y_0)X + F_2(x_0, y_0)Y]t + F(x_0, y_0) = 0\)
- 当\(\Phi(X, Y)\ne 0\)，该方程的判别式\(\Delta = [F_1(x_0, y_0)X + F_2(x_), y_0)Y]^2-\Phi(X, Y)\cdot F(x_0, y_0)\)
- \(\Delta > 0\)，有2个不同的实交点
- \(\Delta = 0\)，有2个重合的实交点
- \(\Delta < 0\)，有2个共轭的虚交点，无实交点
- 当\(\Phi(X, Y) = 0\)
- \(F_1(x_0, y_0)X + F_2(x_0, y_0)Y\ne 0\)，有唯一的实交点
- \(F_1(x_0, y_0)X + F_2(x_0, y_0)Y = 0\)
- \(F(x_0, y_0) = 0\)，直线全部都在二次曲线上
- \(F(x_0, y_0) \ne 0\)，没有交点
无交点和无实交点是不同的概念
无实交点但是有虚交点，说明在复平面上是相交的，只是实坐标平面无法表示出来
3. 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1. 二次曲线的渐近方向
- 二次曲线的渐近方向：满足条件 \(\Phi(X, Y) = 0\)的方向\(X:Y\)叫做二次曲线的 渐近方向，否则叫非渐近方向
- 渐近方向求法：由于二次曲线的二次项系数不会全为0，因此当\(Y\ne 0\)，有\(a_{11}(\frac{X}{Y})^2+2a_{12}(\frac{X}{Y})+a_{22} = 0\)
- 定理：二次曲线的渐近方向总存在且 最多有两个
- 二次曲线根据渐近方向分类：满足条件\(\Phi(X,Y)=0\)的方向\(X:Y\)叫做二次曲线的渐近方向，方程\(a_{11}(\frac{X}{Y})^2+2a_{12}(\frac{X}{Y})+a_{22} = 0\)的判别式\(\Delta = (2a_{12})^2 - 4a_{11}a_{22} = -4I_2\)
- 椭圆型：当\(I_2 > 0\)，二次曲线的渐近方向是一对共轭虚方向
- 抛物型：当\(I_2 = 0\)，二次曲线有 一个实渐近方向
- 双曲线型：当\(I_2 < 0\)，二次曲线有 两个实渐近方向
2. 二次曲线的中心
- 二次曲线的弦：当\(\Phi(X,Y)\ne0\)时，非渐近方向的直线与二次曲线总有两个交点，我们把两个交点的连线叫做二次曲线的 弦
- 二次曲线的中心：当点\(C\)是二次曲线的通过它的所有弦的中点，则点\(C\)叫做 二次曲线的中心
- 定理：点\(C(x_0, y_0)\)是二次曲线的中心的 充要条件 是\(F_1(x_0, y_0) = F_2(x_0, y_0) = 0\)
- 二次曲线根据中心分类
- 中心二次曲线：当\(I_2\ne0\)，有唯一解，即 有一个中心
- 无心二次曲线：当\(I_2 = 0\)，而\(\frac{a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{12}}{a_{22}}\ne\frac{a_{13}}{a_{23}}\)，即没有中心
- 线心二次曲线：当\(I_2 = 0\)，而\(\frac{a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{12}}{a_{22}} = \frac{a_{13}}{a_{23}}\)，方程组有无数多解, 整个直线上的点都是中心
3. 二次曲线的渐近线
- 渐近线：过二次曲线的 中心，并且以 渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的 渐近线
- 渐近线性质
- 二次曲线与它的渐近线或者 没有交点，或者整条直线 都在 这条二次曲线上
- 以直线\(A_1x+B_1y+C_1 = 0\)为渐近线的二次曲线方程总能写成\((A_1x+B_1y+C_1)(Ax+By+C)+D = 0\)的形式
4. 二次曲线的切线
1. 切线
- 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点
2. 奇异点和正则点
- 奇异点：二次曲线上满足\(F_1(x_0, y_0) = F_2(x_0, y_0) = 0\)的点\((x_), y_0)\)叫做二次曲线的 奇异点，简称奇点
- 正则点：二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的 正则点
- 如果点\((x_0, y_0)\)是二次曲线的正则点，那么通过\((x_0, y_0)\)的切线方程为\((x-x_0)F_1(x_0, y_0) + (y - y_0)F_2(x_0, y_0) = 0\)
- 推论：如果点\((x_0, y_0)\)是二次曲线的正则点，那么通过\((x_0, y_0)\)的切线方程为\(a_{11}x_0x+a_{12}(x_0y + xy_0)+a_{22}y_0y+a_{13}(x + x_0)+a_{23}(y + y_0)+a_{33} = 0\)
- 如果点\((x_0, y_0)\)是二次曲线的奇异点，那么通过\((x_0, y_0)\)的切线不确定，或者过\((x_0, y_0)\)的没一条直线都是二次曲线的切线
5. 二次曲线的直径
1. 二次曲线的直径
- 定理：二次曲线的一组平行弦的 中点轨迹是一条直线
- 直径：二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的 直径，它所对应的平行弦，叫做 共轭于这条直线的 共轭弦，而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径
- 直径的表示：二次曲线的平行于方向\(X:Y\)的一组平行弦的直径方程为\(XF_1(x, y) + YF_2(x, y) = 0\)
- 推论：如果二次曲线的一族平行弦的斜率为\(k\)，那么共轭于这族平行弦的直径方程是\(F_1(x, y) + kF_2(x, y) = 0\)
- 二次曲线的直径分类
- 中心二次曲线：中心二次曲线的直径通过 曲线中心
- 无心二次曲线：无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向（\(a_{22}:-a_{12}\)）
- 线心二次曲线：线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线
- 直线束：考察直径方程\(XF_1(x, y) + YF_2(x, y) = 0\)，可以看作系数为\(X,Y\)，基础直线为\(F_1(x, y) = 0, F_2(x, y) = 0\)的 直线束
- 当\(\frac{a_{11}}{a_{12}}\ne\frac{a_{12}}{a_{22}}\)，即二次曲线为中心曲线时，它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心
- 当\(\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}\ne\frac{a_{13}}{a_{23}}\)，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行直线束，其方向为二次曲线的渐近方向\(a_{22}:-a_{12}\)
- 当\(\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}=\frac{a_{13}}{a_{23}}\)，即二次曲线为线心曲线时，二次曲线仅有一条直径，它的方程为其中心直线
- 共轭方向与共轭直径
- 共轭方向：我们把二次曲线的与非渐近方向\(X:Y\)共轭的直径方向\(X^{\prime}:Y^{\prime} = -(a_{12}X+a_{22}Y):(a_{11}X+a_{12}Y)\)叫做非渐近方向\(X:Y\)的 共轭方向
- \(\Phi(X^{\prime}:Y^{\prime}) = a_{11}(a_{12}X+a_{22}Y)^2t^2-2a_{12}(a_{12}X+a_{22}Y) = I_2\Phi(X, Y)t^2\)
- 当\(I_2\ne0\)时，二次曲线为中心曲线，\(\Phi(X^{\prime}, Y^{\prime})\ne 0\)，即中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是 非渐近方向
- 当\(I_2 = 0\)时，二次曲线为非中心曲线，\(\Phi(X^{\prime}, Y^{\prime}) = 0\)，即非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是 渐近方向
- 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对 共轭直径，且\(a_{11}XX^{\prime} + a_{12}(XY^{\prime} + X^{\prime}Y) + a_{22}YY^{\prime} = 0\)
- 推论：一对共轭直径的斜率满足\(a_{22}kk^{\prime} + a_{12}(k + k^{\prime}) + a_{11} = 0\)
2. 二次曲线的主直径
- 主直径：二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的 主方向；显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点
- 二次曲线的特征方程与特征根
- 根据主直径的定义，\(X:Y\)成为中心二次曲线的主方向的条件是\[\left\{\begin{matrix} a_{11}X+a_{12}Y = \lambda X \\ a_{12}X+a_{22}Y = \lambda Y \end{matrix}\right. \]这是一个关于\(X:Y\)的齐次线性方程组，而\(X:Y\)不能全为0，因此\[\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a-{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 - I_1\lambda + I_2 = 0 \]\(\lambda^2 - I_1\lambda + I_2 = 0\)叫做二次曲线的 特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的 特征根
- 定理
- 二次曲线的特征根都是实数
- 二次曲线的特征根不能全为零
- 由二次曲线的特征根\(\lambda\)确定的主方向\(X:Y\)，当\(\lambda\ne0\)，为二次曲线的非渐近方向，当\(\lambda = 0\)，为二次曲线的渐近主方向
- 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径
- 主直径方向\[\begin{align*} X_1:Y_1 = a_{12}:(\lambda_1 - a_{11}) = (\lambda_1 - a_{22}) : a_{12}\\ X_2:Y_2 = a_{12}:(\lambda_2 - a_{11}) = (\lambda_2 - a_{22}) : a_{12} \end{align*} \]
- 根据主直径的定义，\(X:Y\)成为中心二次曲线的主方向的条件是
6. 二次曲线方程的化简与分类
1. 平面直角坐标变换
-
移轴公式：给定平面内一点\(P\)的旧坐标\((x, y)\)与新坐标\((x^{\prime}, y^{\prime})\)，新坐标原点\(O^{\prime}\)在旧坐标系下的坐标为\((x_0, y_0)\)
\[\left\{\begin{matrix} x = x^{\prime} + x_0 \\ y = y^{\prime} + y_0 \end{matrix}\right. or \left\{\begin{matrix} x^{\prime} = x - x_0 \\ y^{\prime} = y - y_0 \end{matrix}\right. \] -
转轴公式：设\(\theta\)为坐标轴的旋转角
\[\left\{\begin{matrix} x = x^{\prime}\cos\theta - y^{\prime}\sin\theta \\ y = x^{\prime}\sin\theta + y^{\prime}\cos\theta \end{matrix}\right. or \left\{\begin{matrix} x^{\prime} = x\cos\theta + y\sin\theta \\ y^{\prime} = -x\sin\theta + y\cos\theta \end{matrix}\right. \]
-
设在直角坐标系\(xOy\)里给定了两条相互垂直的直线\(l_1:A_1x+B_1y+C_1 = 0; l_2:A_2x+B_2y+C_2 = 0(A_1A_2 + B_1B_2 = 0)\)，其中\(l_1\)为横轴\(O^{\prime}x^{\prime}\)，\(l_2\)为纵轴\(O^{\prime}y^{\prime}\)，设点\(M\)的旧坐标与新坐标分别是\((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})\)，则新的坐标转换公式为
\[\left\{\begin{matrix} x^{\prime} = \pm\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}} \\ y^{\prime} = \pm\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} \end{matrix}\right. \]为了使新坐标系仍然是 右手坐标系，上面第一式右端的\(x\)的系数应该与第二式的右端\(y\)的系数 相等
2. 二次曲线方程的化简与分类
- 二次曲线方程在移轴与转轴下的系数的变换规律
- 移轴（新坐标原点\(O^{\prime}\)在旧坐标系下的坐标为\((x_0, y_0)\)）
- 二次项系数不变
- 一次项系数变为\(2F_1(x_0, y_0)\)和\(2F_2(x_0, y_0)\)
- 常数项变为\(F(x_0, y_0)\)
- 当二次曲线有中心时，作移轴，使新原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失（\(F_1(x_0, y_0) = F_2(x_0, y_0) = 0\)）
- 转轴
- 二次项系数一般要改变
- 一次项系数一般要改变\[\left\{\begin{matrix} a_{13}^{\prime} = a_{13}\cos\theta + a_{23}\sin\theta \\ a_{23}^{\prime} = -a_{13}\sin\theta + a_{23}\cos\theta \end{matrix}\right. or \left\{\begin{matrix} a_{13} = a_{13}^{\prime}\cos\theta - a_{23}^{\prime}\sin\theta \\ a_{23} = a_{13}^{\prime}\sin\theta + a_{23}^{\prime}\cos\theta \end{matrix}\right. \]和转轴公式对应
- 常数项不变
- 利用转轴使二次曲线方程中的\(a_{12}^{\prime} = 0\)来消去\(xy\)项，为此选取旋转角\(\theta\)，其中\(\cot2\theta = \frac{a_{11} - a_{22}}{2a_{12}}\)
- 移轴（新坐标原点\(O^{\prime}\)在旧坐标系下的坐标为\((x_0, y_0)\)）
- 通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置
- 如果是中心曲线，新坐标原点与曲线的中心重合
- 如果是无心曲线，新坐标原点与曲线的顶点重合
- 如果是线心曲线，新坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合
因此，二次曲线方程的化简 ，只要先求出曲线的主直径， 然后以它作为新坐标轴，作坐标变换即可
- 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个
- 中心曲线：\(a_{11}x^2 + a_{22}y^2+a_{33} = 0, a_{11}a_{22}\ne 0\)
- 无心曲线：\(a_{22}y^2 + 2a_{13}x = 0, a_{22}a_{13}\ne 0\)
- 线心曲线：\(a_{22}y^2 + a_{33} = 0, a_{22}\ne 0\)
- 通过适当的选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式
- 椭圆：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
- 虚椭圆：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1\)
- 双曲线：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
- 点或称两相交于实点的共轭虚直线：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0\)
- 两相交直线：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)
- 抛物线：\(y^2 = 2px\)
- 两平行直线：\(y^2 = a^2\)
- 两平行共轭虚直线：\(y^2 = -a^2\)
- 两重合直线：\(y^2 = 0\)
