04 柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面 | 解析几何

1. 柱面

1. 柱面概念

1. 柱面：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面
2. 准线：定曲线叫做柱面的 准线
   1. 柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线
3. 母线：那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的 母线
4. 柱面的一般方程
   1. 方程
      1. 准线方程
         \[C: \left\{\begin{matrix} F_1(x,y,z) = 0 \\ F_2(x,y,z) = 0 \end{matrix}\right. \]

      2. 母线\(l\)的方向数\(X,Y,Z\)
   2. 求方程方法：设\(P_1(x_1,y_1,z_1)\)为准线上任意一点
   3. 写出母线族方程：\(\frac{x-x_1}{X} = \frac{y - y_1}{Y} = \frac{z-z_1}{Z}\)
   4. 写出参数\(x_1,y_1,z_1\)的约束条件
      \[ \left\{\begin{matrix} F_1(x_1,y_1,z_1) = 0 \\ F_2(x_1,y_1,z_1) = 0 \end{matrix}\right. \]

   5. 消去参数\(x_1,y_1,z_1\)得一个三元方程

2. 柱面分类

1. 圆柱面
   1. 方程：\(x^2+y^2 = r^2\)
   2. 求解方程的特殊方法
      1. 已知轴线方程\(\frac{x-x_0}{X} = \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z}\)以及柱面上一点\(M_1(x_1,y_1,z_1)\)
      2. 则轴线的方向向量为\(\vec{v} = (X,Y,Z)\)，且轴线过\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
      3. 设\(M(x,y,z)\)为圆柱面任一点，那么有以下关系，化简即可求出方程
         \[|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec{v}| = |\overrightarrow{M_0M}\times\vec{v}| \]
         
2. 椭圆柱面
   1. 方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1\)
   2. 图像：
3. 双曲柱面
   1. 方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1\)
   2. 图像：
4. 抛物柱面
   1. 方程：\(y^2 = 2px\)
   2. 图像：

在空间直角坐标系里，因为这些柱面与\(xOy\)坐标面的交线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面

3. 柱面判定定理

1. 柱面判定：在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴
2. 柱面方程特点：母线平行于坐标轴的柱面,其方程缺少一个与该坐标轴同名的元(坐标)

4. 空间曲线的射影柱面

1. 射影柱面：曲线\(L\)可以用它对三个坐标面的任意两个射影柱面来表示，代数上从两个三元方程中消去一个元，意义就是求空间曲线的射影柱面
2. 求法：对于曲线\(L\)，得到\(xOy\)坐标面的射影柱面就消去\(z\)，以此类推
3. 例子
   1. 将\(L\)作\(xOy\)面的投影柱面
      \[\left\{\begin{matrix} 2y^2+z^2+4x-4=0\\ y^2+3z^2-8x-12 = 0 \end{matrix}\right. \]

   2. 消去\(z\)：\(y^2 = -4x\)

2. 锥面

1. 锥面概念

1. 锥面：在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面；这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线
2. 锥面的准线不是惟一的，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线

2. 锥面的方程

1. 锥面的一般方程
   1. 锥面的准线方程
      \[C: \left\{\begin{matrix} F_1(x,y,z) = 0 \\ F_2(x,y,z) = 0 \end{matrix}\right. \]

   2. 顶点：\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
   3. 求方程方法：设\(M_1(x_1,y_1,z_1)\)为准线上任意一点
      1. 写出母线族方程：\(\frac{x-x_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{z-z_0}{z_1 - z_0}\)
      2. 写出参数\(x_1,y_1,z_1\)的约束条件
      \[ \left\{\begin{matrix} F_1(x_1,y_1,z_1) = 0 \\ F_2(x_1,y_1,z_1) = 0 \end{matrix}\right. \]
      3. 消去参数\(x_1,y_1,z_1\)得一个三元方程\(F(x,y,z) = 0\)为所求的锥面方程

3. 圆锥面

1. 圆锥面：可看成两条相交而不垂直的直线，其中一条绕另一条旋转而成；运动那条直线称为圆锥面的 母线；另一条直线称为圆锥面的 轴；母线与轴线的交点称为圆锥面的 顶点；母线与轴线的夹角称为圆锥面的半顶角
2. 半顶角求法：设\(M(x_0,y_0,z_0)\)为圆锥面的顶点，轴线方向向量\(\vec{v} = (X,Y,Z)\)，\(M(x,y,z)\)在圆锥面上，则半顶角\(\alpha:\frac{\overrightarrow{M_0M}\cdot\vec{v}}{|\overrightarrow{M_0M}|\cdot|\vec{v}|} = \pm\cos\alpha\)

4. 锥面判定定理

1. 锥面判定定理：一个关于\(x, y, z\)的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面；反之，以原点为顶点的锥面的方程一定是关于\(x, y, z\)的齐次方程
2. 推论：一个关于\(x-x_0, y-y_0, z-z_0\)的齐次方程总表示顶点在\((x_0, y_0, z_0)\)的锥面

3. 旋转曲面

1. 旋转曲面的有关概念

1. 旋转曲面：在空间，一条曲线\(\Gamma\)绕着定直线\(l\)旋转一周所生成的曲面\(S\)称为 旋转曲面
2. 母线：\(\Gamma\)称为旋转曲面的 母线
3. 旋转轴：\(l\)称为旋转曲面的 旋转轴
4. 纬线：母线上任意一点绕旋转轴\(l\)旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或 纬线
5. 经线：以旋转轴\(l\)为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的 经线
6. 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线

2. 旋转曲面的方程

1. 旋转曲面的一般方程
   1. 设旋转曲面的母线方程
      \[\Gamma: \left\{\begin{matrix} F_1(x,y,z) = 0 \\ F_2(x,y,z) = 0 \end{matrix}\right. \]
      旋转轴为直线\(l:\frac{x-x_0}{X} = \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z}\)
   2. 求法：设\(M_1(x_1,y_1,z_1)\)为母线上任意一点
      1. 写出 纬圆族方程：
         \[\left\{\begin{matrix} X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1) = 0 \\ (x - x_0)^2+(y - y_0)^2+(z - z_0)^2 = (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2 \end{matrix}\right. \]

      2. 写出参数\(x_1, y_1, z_1\)的约束条件
         \[\left\{\begin{matrix} F_1(x_1,y_1,z_1) = 0 \\ F_2(x_1,y_1,z_1) = 0 \end{matrix}\right. \]

      3. 消去参数\(x_1, y_1, z_1\)得到一个三元方程：\(F(x,y,z) = 0\)
2. 旋转曲面的方程特征
   1. 规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的正负平方根代替方程中的另一个坐标
   2. 例子：设母线
      \[\Gamma: \left\{\begin{matrix} F(y,z) = 0 \\ x = 0 \end{matrix}\right. \]
      1. 绕\(z\)轴旋转所得的旋转面方程：\(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z) = 0\)
      2. 绕\(y\)轴旋转所得的旋转面方程：\(F(y,\pm\sqrt{x^2+z^2}) = 0\)

4. 椭球面

1. 椭球面的概念

• 椭球面：在空间直角坐标系上，由方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)，所表示的曲面叫做 椭球面，通常假设\(a\ge b\ge c\ge 0\)，该方程叫做 椭球面的标准方程

2. 椭球面的性质

1. 对称性：椭球面关于三坐标面，三坐标轴，坐标原点都 对称（椭球面有三个两两相互垂直的对称平面、三条两两相互垂直的对称轴及一个对称中心，这样的二次曲面叫 中心二次曲面）
2. 与坐标轴交点：\(|x|\le a,|y|\le b, |z|\le c\)
3. 平行截面：被坐标面的平行平面所截得的曲线：考虑截面\(z = h\)
   1. \(|h|>c\)：无图像
   2. \(|h|=c\)：\((0,0,\pm c)\)
   3. \(|h|<c\)：椭圆

3. 椭球面的参数方程

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\cos\theta\cos\varphi \\ y = b\cos\theta\sin\varphi \\ z = c\sin\theta \end{matrix}\right. \space(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2},0\le\varphi\le2\pi) \]

5. 双曲面

1. 单叶双曲面

1. 单叶双曲面：在直角坐标系下，由方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)所表示的曲面叫做 单叶双曲面，该方程叫做单叶双曲面的 标准方程
2. 单叶双曲面的性质
   1. 对称性：单叶双曲面关于三坐标面，三坐标轴，坐标原点都 对称，也是中心二次曲面
   2. 被坐标面截得的曲线
      1. \(xOy\)：椭圆
      2. \(yOz\)：双曲线
      3. \(xOz\)：双曲线
3. 单叶双曲面的参数方程
   \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\sec\theta\cos\varphi \\ y = b\sec\theta\sin\varphi \\ z = c\tan\theta \end{matrix}\right. \]

4. 单叶双曲面方程性质：\(Ax^2+By^2+Cz^2 = 1,ABC\ne0,A,B,C\)两正一负表示单叶双曲面

2. 双叶双曲面

1. 双叶双曲面：在直角坐标系下，由方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1\)所表示的曲面叫做 双叶双曲面，该方程叫做双叶双曲面的 标准方程
2. 双叶双曲面的性质
   1. 对称性：双叶双曲面关于三坐标面，三坐标轴，坐标原点都 对称，也是中心二次曲面
   2. 曲面存在范围：\(z\le-c\)或\(z\ge c\)
   3. 被坐标面截得的曲线
      1. \(xOy\)：没有交点
      2. \(yOz\)：双曲线
      3. \(xOz\)：双曲线
      4. \(|h| > c\)：椭圆
3. 双叶双曲面的参数方程
   \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\tan\theta\cos\varphi \\ y = b\tan\theta\sin\varphi \\ z = c\sec\theta \end{matrix}\right. \]

4. 双叶双曲面方程性质：\(Ax^2+By^2+Cz^2 = 1,ABC\ne0,A,B,C\)两负一正表示双叶双曲面

3. 双曲面及其 渐近锥面

1. 双叶双曲线：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1\)

2. 渐近锥面：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0\)

3. 单叶双曲面：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)

4. 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近

6. 抛物面

1. 椭圆抛物面

1. 椭圆抛物面：在直角坐标系下，由方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z\)所表示的曲面叫做 椭圆抛物面，该方程叫做 椭圆抛物面的标准方程
2. 椭圆抛物面的性质
   1. 对称性：椭圆抛物面关于\(yOz,xOz\)坐标面以及\(z\)轴对称，但是它没有对称中心，因此椭圆抛物面是无心二次曲面
   2. 曲面存在范围：\(z\ge 0\)
   3. 被坐标面截得的曲线
      1. \(xOy\)：\((0, 0, 0)\)
      2. \(yOz\)：抛物线
      3. \(xOz\)：抛物线
      4. 上面两条叫做椭圆抛物面的 主抛物线
   4. 被坐标平面的平行平面所截得的曲线
      1. \(z = h\)：椭圆（椭圆抛物面可看成由椭圆族所生成）
      2. \(x = t\)：抛物线（椭圆抛物面可看成由主抛物线所生成）
      3. \(y = m\)：抛物线
   5. 结论
      1. 椭圆抛物面可看作由一个椭圆保持所在平面与\(xOy\)面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动形成
      2. 两条所在平面互相垂直抛物线，它们的顶点和轴都重合，且有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面

2. 双曲抛物面

1. 双曲抛物面：在直角坐标系下，由方程\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\)所表示的曲面叫做 双曲抛物面（马鞍面），该方程叫做 双曲抛物面的标准方程
2. 双曲抛物面的性质
   1. 对称性：抛物面关于\(yOz,xOz\)坐标面以及\(z\)轴对称，但是它没有对称中心，因此双曲抛物面是无心二次曲面
   2. 被坐标面截得的曲线
      1. \(xOy\)：两条相交于原点的 直线
      2. \(yOz\)：抛物线
      3. \(xOz\)：抛物线
      4. 上面两条叫做双曲抛物面的 主抛物线
   3. 被坐标平面的平行平面所截得的曲线
      1. \(x = t\)：抛物线
      2. \(y = m\)：抛物线
   4. 结论：如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己，且使其顶点在另一抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面

7. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

1. 直母线

1. 直纹曲面：柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由一族直线所构成的曲面叫做 直纹曲面
2. 直母线：而构成曲面那族直线叫做曲面的一族 直母线， 柱面与锥面都是直纹曲面

2. 单叶双曲面的直母线

1. \(u\)族直线：对于单叶双曲面\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
   \[(\frac{x}{a}+\frac{z}{c})(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}) = (1+\frac{y}{b})(1-\frac{y}{b})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (\frac{x}{a}+\frac{z}{c}) = u(1+\frac{y}{b}) \\ (\frac{x}{a}-\frac{z}{c}) = \frac{1}{u}(1-\frac{y}{b}) \end{matrix}\right. \]

2. \(v\)族直线：对于单叶双曲面\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
   \[(\frac{x}{a}+\frac{z}{c})(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}) = (1+\frac{y}{b})(1-\frac{y}{b})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (\frac{x}{a}+\frac{z}{c}) = v(1-\frac{y}{b}) \\ (\frac{x}{a}-\frac{z}{c}) = \frac{1}{v}(1+\frac{y}{b}) \end{matrix}\right. \]
   
3. 为了避免取极限，我们常把单叶双曲面的直母线写为
   \[\left\{\begin{matrix} w(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}) = u(1+\frac{y}{b}) \\ u(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}) = w(1-\frac{y}{b}) \end{matrix}\right. or \left\{\begin{matrix} t(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}) = v(1-\frac{y}{b}) \\ v(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}) = t(1+\frac{y}{b}) \end{matrix}\right. \]

4. 推论
   1. 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点
   2. 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面
   3. 单叶双曲面上同族的任意两直母线总是异面直线

3. 双曲抛物面的直母线

1. 同理写出双曲抛物面的\(u\)族直线：对于双曲抛物面\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\)
   \[(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = 2z\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 2u \\ u(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}) = z \end{matrix}\right. \]

2. 同理写出双曲抛物面的\(v\)族直线：对于双曲抛物面\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\)
   \[(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = 2z\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{a}-\frac{y}{b} = 2v \\ v(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}) = z \end{matrix}\right. \]
   
3. 推论
   1. 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点
   2. 双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交
   3. 双曲抛物面上任意两直母线总是异面直线，且同族的全体直母线平行于同一平面