03 平面与空间直线 | 解析几何

1. 平面的方程

1. 平面的方程分类

1. 平面的向量式参数方程
   1. 形式：$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}$
   2. 向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$叫做平面的 方向向量
2. 平面的坐标式参数方程
   1. 形式：设$\overrightarrow{r_0}=(x_0,y_0,z_0),\overrightarrow{a}=(X_1,Y_1,Z_1),\overrightarrow{b}=(X_2,Y_2,Z_2),\overrightarrow{r}=(x,y,z)$
      $$\{\begin{array}{cc}x=& x_0+u{X}_1+v{X}_2\\ y=& y_0+u{Y}_1+v{Y}_2\\ z=& z_0+u{Z}_1+v{Z}_2\end{array}$$

3. 平面的点位式方程
   1. 形式：由于$\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$共面，得到混合机$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0$或者
      $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ X_1& Y_1& Z_1\\ X_2& Y_2& Z_2\end{array}\right|=0$$

4. 平面的三点式方程
   1. 形式：已知不共线三点$M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2),M_3(x_3,y_3,z_3)$，则过这三点的平面为
      $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$$
      或者
      $$\left|\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\\ x_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\end{array}\right|=0$$

5. 平面的截距式方程
   1. 形式：设平面在$x,y,z$轴上分别相交于$(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$三点，那么平面方程为
      $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$
      
6. 平面的一般方程
   1. 形式：$Ax+By+Cz+D=0$
   2. 特殊情形
      1. 通过原点：$D=0$
      2. 平行于轴
         1. 平行$x$轴：$A=0$
         2. 平行$y$轴：$B=0$
         3. 平行$z$轴：$C=0$
      3. 平行于平面
         1. 平行$xOy$轴：$A=0,B=0$
         2. 平行$yOz$轴：$B=0,C=0$
         3. 平行$xOz$轴：$A=0,C=0$
7. 平面的法式方程
   1. 法向量：如果给定空间一点$M_0$和一个非零向量$\overrightarrow{n}$，那么通过点$M_0$且与向量$\overrightarrow{n}$垂直的平面也惟一地被确定，把与平面垂直的非零向量$\overrightarrow{n}$叫做 法向量
   2. 形式：设$\overrightarrow{n}=(A,B,C),M_0(x_0,y_0,z_0)$，则平面的方程为$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
8. 平面的坐标式法式方程
   1. 形式：若平面上的一点$M_0$特殊地取自原点$O$向平面所引垂线的垂足$P$ ，而平面的法向量取单位向量$\overrightarrow{n_0}$ （方向与$\overrightarrow{OP}$相同），设$|\overrightarrow{OP}|=p$，那么由点$P$和法向量$\overrightarrow{r_0}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$决定平面的向量式法式方程，为$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$
   2. 特点
      1. 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1
      2. 因为$p$是原点$O$到平面的距离，所以常数$-p\le 0$
   3. 平面的一般方程与平面的坐标式法式方程的相互转化
      1. 法式化因子：$\lambda =\frac{1}{\pm |\overrightarrow{n}|}=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$，$\lambda$选取的符号与常数项$D$的符号相反，以保证$\lambda D=-p<0$
      2. 平面的一般方程两边乘上$\lambda$即可得到平面的坐标式法式方程

2. 平面的相关几何计算

1. 点与平面间的距离
   1. 离差：如果自点$M_0$到平面引垂线，垂足为$Q$那么向量$\overrightarrow{Q{M}_0}$在平面的单位法向量$\overrightarrow{n_0}$上的射影叫做点$M_0$与平面间的 离差
   2. 离差的符号
      1. 当且仅当$M_0$位于平面法向量$\overrightarrow{n_0}$指向的一侧，$\overrightarrow{Q{M}_0}$与$\overrightarrow{n_0}$同向，离差为 正
      2. 当且仅当$M_0$位于平面法向量$\overrightarrow{n_0}$指向的反侧，$\overrightarrow{Q{M}_0}$与$\overrightarrow{n_0}$反向，离差为 负
      3. 当且仅当$M_0$位于平面上，离差为0
      4. 离差的绝对值即为$M_0$到平面的 距离
   3. 距离：点$M_0=(x_0,y_0,z_0)$与平面一般方程$Ax+By+Cz+D=0$的距离为
      $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

2. 两平面之间的相关位置
   1. 设两平面${\mathrm{\Pi }}_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{\mathrm{\Pi }}_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$，法向量$\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$
   2. 相交：$A_1:B_1:C_1\ne A_2:B_2:C_2$
   3. 垂直：$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$
   4. 平行：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$
   5. 重合：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$
   6. 夹角：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角（通常取锐角）
      $$\cos \mathrm{\angle }({\mathrm{\Pi }}_1,{\mathrm{\Pi }}_2)=\pm \cos \theta =\pm \frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\pm \frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

2. 直线的方程

1. 直线式方程分类

1. 直线的向量式参数方程
   1. 形式：$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+t\overrightarrow{v}$，其中方向向量$\overrightarrow{v}=(X,Y,Z)$
2. 直线的坐标式参数方程
   1. 形式：设方向向量为$(X,Y,Z)$，那么直线的坐标式参数方程为$x=x_0+Xt,y=y_0+Yt,z=z_0+Zt$
3. 直线的标准方程（对称式方程）
   1. 形式：消去参数$t$得到$\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}$
   2. 方向数：方程中的$X,Y,Z$或者与他们成比例的一组数$l,m,n(X:Y:Z=l:m:n)$叫做直线的 方向数
4. 直线的两点式方程
   1. 形式：直线通过空间中的两点$M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$，那么两点式方程为$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$
5. 直线的一般方程
   1. 形式：空间直线可以看作两平面的交线
      $$\{\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

   2. 直线的方向向量：设两平面的法向量分别是$\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2}$，那么直线的方向向量$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{r_1}\times \overrightarrow{r_2}$
   3. 一般方程转化为标准方程：先按上述的定理求出方向向量，然后联立平面方程组求出一个交点即可

2. 直线与平面的相对位置关系

1. 设直线$l:\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}$，平面$\mathrm{\Pi }:Ax+By+Cz+D=0$
   1. 相交：$AX+BY+CZ\ne 0$
   2. 平行：$AX+BY+CZ=0,A{X}_0+B{Y}_0+C{Z}_0+D\ne 0$
   3. 重合：$AX+BY+CZ=0,A{X}_0+B{Y}_0+C{Z}_0+D=0$
2. 已知直线和平面方程，求二者的交点
   1. 写出$l$的参数方程$x=x_0+Xt,y=y_0+Yt,z=z_0+Zt$
   2. 代入到平面方程求出$t=t_0$
   3. 代$t=t_0$进入直线的参数方程，即可得到交点坐标
3. 直线与平面的夹角
   1. 夹角：直线和它在平面上的射影直线的夹角 称为直线与平面的夹角
   2. 夹角公式
      $$\sin \phi =|\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{v},\overrightarrow{n})|=\frac{AX+BY+CZ}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}}$$
      

3. 直线与点的相对位置关系

1. 点$M_0(x_0,y_0,z_0)$到直线$l$的距离
   $$d=\frac{|\overrightarrow{M_1{M}_0}\times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}$$

4. 空间中两直线的相对位置关系

1. 两直线的相对位置
   设$l_1:\frac{x-x_1}{X_1}=\frac{y-y_1}{Y_1}=\frac{z-z_1}{Z_1},l_2:\frac{x-x_2}{X_2}=\frac{y-y_2}{Y_2}=\frac{z-z_2}{Z_2}$
   1. 异面
      $$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ X_1& Y_1& Z_1\\ X_2& Y_2& Z_2\end{array}\right|\ne 0$$

   2. 相交：$\mathrm{\Delta }=0,X_1:Y_1:Z_1=X_2:Y_2:Z_2$
   3. 平行：$X_1:Y_1:Z_1=X_2:Y_2:Z_2\ne (x_2-x_1):(y_2-y_1):(z_2-z_1)$
   4. 重合：$X_1:Y_1:Z_1=X_2:Y_2:Z_2=(x_2-x_1):(y_2-y_1):(z_2-z_1)$
2. 两直线之间的夹角
   1. 夹角：平行于空间两直线的两向量间的角，叫做空间两直线的夹角
   2. 夹角公式
      $$\cos \mathrm{\angle }(l_1,l_2)=\pm \frac{X_1{X}_2+Y_1{Y}_2+Z_1{Z}_2}{\sqrt{X_1^2+Y_1^2+Z_1^2}\sqrt{X_2^2+Y_2^2+Z_2^2}}$$

   3. 垂直：$X_1{X}_2+Y_1{Y}_2+Z_1{Z}_2=0$
3. 异面直线之间的距离
   1. 直线之间的距离：空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离
   2. 公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长
   3. 异面直线之间的距离：两异面直线间的距离等于它们公垂线的长
   4. 异面直线之间的距离公式
      $$d=|\frac{(\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2})}{\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}}|$$

   5. 公垂线方程
      1. 对于两直线$l_1:\frac{x-x_1}{X_1}=\frac{y-y_1}{Y_1}=\frac{z-z_1}{Z_1};l_2:\frac{x-x_2}{X_2}=\frac{y-y_2}{Y_2}=\frac{z-z_2}{Z_2}$
      2. 可以得到${\pi }_1,{\pi }_2$两个平面$(\overrightarrow{v_1}=(X_1,Y_1,Z_1),\overrightarrow{v_2}=(X_2,Y_2,Z_2),\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}=(X,Y,Z))$
         $${\pi }_1:\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ X_1& Y_1& Z_1\\ X& Y& Z\end{array}\right|=0$$
         $${\pi }_2:\left|\begin{array}{ccc}x-x_2& y-y_2& z-z_2\\ X_2& Y_2& Z_2\\ X& Y& Z\end{array}\right|=0$$

      3. 所求直线即为两平面交线

3. 平面束

1. 平面束的定义

1. 有轴平面束：空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那条直线叫做平面束的轴
2. 平行平面束：空间中平行于同一个平面的集合叫做平行平面束

2. 平面束的方程

1. 如果两个平面${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$交于一条直线$L$，那么以直线$L$为轴的有轴平面束的方程是$l(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+m(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$，其中$l,m$不全为零
2. 如果两个平面${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$为平行平面，即$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$，那么平行平面束为$l(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+m(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$，平面束里任何一个平面都和平面${\pi }_1,{\pi }_2$平行
   1. 推论：由平面$\pi :Ax+By+Cz+D=0$决定的平行平面束（即与平面平行的全体平面）的方程是$Ax+By+Cz+\lambda =0$，其中$\lambda$是任意实数

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本文作者：RadiumGalaxy
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