03 平面与空间直线 | 解析几何
平面方程与空间直线方程
1. 平面的方程
1. 平面的方程分类
- 平面的向量式参数方程
- 形式：\(\vec{r}=\vec{r_0}+u\vec{a}+v\vec{b}\)
- 向量\(\vec{a},\vec{b}\)叫做平面的 方向向量
- 平面的坐标式参数方程
- 形式：设\(\vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0),\vec{a} = (X_1,Y_1,Z_1), \vec{b} = (X_2,Y_2,Z_2),\vec{r}=(x,y,z)\)\[\left\{\begin{matrix} x =& x_0+uX_1+vX_2 \\ y =& y_0+uY_1+vY_2 \\ z =& z_0+uZ_1+vZ_2 \end{matrix}\right. \]
- 形式：设\(\vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0),\vec{a} = (X_1,Y_1,Z_1), \vec{b} = (X_2,Y_2,Z_2),\vec{r}=(x,y,z)\)
- 平面的点位式方程
- 形式：由于\(\vec{r}-\vec{r_0},\vec{a},\vec{b}\)共面，得到混合机\((\vec{r}-\vec{r_0},\vec{a},\vec{b})=0\)或者\[\begin{vmatrix} x-x_0& y-y_0& z-z_0 \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \end{vmatrix} =0 \]
- 形式：由于\(\vec{r}-\vec{r_0},\vec{a},\vec{b}\)共面，得到混合机\((\vec{r}-\vec{r_0},\vec{a},\vec{b})=0\)或者
- 平面的三点式方程
- 形式：已知不共线三点\(M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2),M_3(x_3,y_3,z_3)\)，则过这三点的平面为\[\begin{vmatrix} x-x_1& y-y_1& z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} =0 \]或者\[\begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} =0 \]
- 形式：已知不共线三点\(M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2),M_3(x_3,y_3,z_3)\)，则过这三点的平面为
- 平面的截距式方程
- 形式：设平面在\(x,y,z\)轴上分别相交于\((a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)\)三点，那么平面方程为\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \]
- 形式：设平面在\(x,y,z\)轴上分别相交于\((a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)\)三点，那么平面方程为
- 平面的一般方程
- 形式：\(Ax+By+Cz+D=0\)
- 特殊情形
- 通过原点：\(D=0\)
- 平行于轴
- 平行\(x\)轴：\(A=0\)
- 平行\(y\)轴：\(B=0\)
- 平行\(z\)轴：\(C=0\)
- 平行于平面
- 平行\(xOy\)轴：\(A=0,B=0\)
- 平行\(yOz\)轴：\(B=0,C=0\)
- 平行\(xOz\)轴：\(A=0,C=0\)
- 平面的法式方程
- 法向量：如果给定空间一点\(M_0\)和一个非零向量\(\vec{n}\)，那么通过点\(M_0\)且与向量\(\vec{n}\)垂直的平面也惟一地被确定，把与平面垂直的非零向量\(\vec{n}\)叫做 法向量
- 形式：设\(\vec{n}=(A,B,C),M_0(x_0,y_0,z_0)\)，则平面的方程为\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
- 法向量：如果给定空间一点\(M_0\)和一个非零向量\(\vec{n}\)，那么通过点\(M_0\)且与向量\(\vec{n}\)垂直的平面也惟一地被确定，把与平面垂直的非零向量\(\vec{n}\)叫做 法向量
- 平面的坐标式法式方程
- 形式：若平面上的一点\(M_0\)特殊地取自原点\(O\)向平面所引垂线的垂足\(P\) ，而平面的法向量取单位向量\(\vec{n_0}\) （方向与\(\overrightarrow{OP}\)相同），设\(|\overrightarrow{OP}|=p\)，那么由点\(P\)和法向量\(\vec{r_0}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)决定平面的向量式法式方程，为\(x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0\)
- 特点
- 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1
- 因为\(p\)是原点\(O\)到平面的距离，所以常数\(-p\le0\)
- 平面的一般方程与平面的坐标式法式方程的相互转化
- 法式化因子：\(\lambda=\frac{1}{\pm|\vec{n}|}=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)，\(\lambda\)选取的符号与常数项\(D\)的符号相反，以保证\(\lambda D=-p<0\)
- 平面的一般方程两边乘上\(\lambda\)即可得到平面的坐标式法式方程
2. 平面的相关几何计算
- 点与平面间的距离
- 离差：如果自点\(M_0\)到平面引垂线，垂足为\(Q\)那么向量\(\overrightarrow{QM_0}\)在平面的单位法向量\(\vec{n_0}\)上的射影叫做点\(M_0\)与平面间的 离差
- 离差的符号
- 当且仅当\(M_0\)位于平面法向量\(\vec{n_0}\)指向的一侧，\(\overrightarrow{QM_0}\)与\(\vec{n_0}\)同向，离差为 正
- 当且仅当\(M_0\)位于平面法向量\(\vec{n_0}\)指向的反侧，\(\overrightarrow{QM_0}\)与\(\vec{n_0}\)反向，离差为 负
- 当且仅当\(M_0\)位于平面上，离差为0
- 离差的绝对值即为\(M_0\)到平面的 距离
- 距离：点\(M_0=(x_0,y_0,z_0)\)与平面一般方程\(Ax+By+Cz+D=0\)的距离为\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
- 两平面之间的相关位置
- 设两平面\(\Pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\Pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\)，法向量\(\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)\)
- 相交：\(A_1:B_1:C_1\ne A_2:B_2:C_2\)
- 垂直：\(A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\)
- 平行：\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne\frac{D_1}{D_2}\)
- 重合：\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\)
- 夹角：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角（通常取锐角）\[\cos\angle(\Pi_1,\Pi_2)=\pm\cos\theta=\pm\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}=\pm\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \]
2. 直线的方程
1. 直线式方程分类
- 直线的向量式参数方程
- 形式：\(\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}\)，其中方向向量\(\vec{v}=(X,Y,Z)\)
- 形式：\(\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}\)，其中方向向量\(\vec{v}=(X,Y,Z)\)
- 直线的坐标式参数方程
- 形式：设方向向量为\((X,Y,Z)\)，那么直线的坐标式参数方程为\(x=x_0+Xt,y=y_0+Yt,z=z_0+Zt\)
- 直线的标准方程（对称式方程）
- 形式：消去参数\(t\)得到\(\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}\)
- 方向数：方程中的\(X,Y,Z\)或者与他们成比例的一组数\(l,m,n(X:Y:Z=l:m:n)\)叫做直线的 方向数
- 直线的两点式方程
- 形式：直线通过空间中的两点\(M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)\)，那么两点式方程为\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
- 直线的一般方程
- 形式：空间直线可以看作两平面的交线\[\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right. \]
- 直线的方向向量：设两平面的法向量分别是\(\vec{r_1},\vec{r_2}\)，那么直线的方向向量\(\vec{s}=\vec{r_1}\times\vec{r_2}\)
- 一般方程转化为标准方程：先按上述的定理求出方向向量，然后联立平面方程组求出一个交点即可
- 形式：空间直线可以看作两平面的交线
2. 直线与平面的相对位置关系
- 设直线\(l:\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}\)，平面\(\Pi: Ax+By+Cz+D=0\)
- 相交：\(AX+BY+CZ\ne0\)
- 平行：\(AX+BY+CZ=0,AX_0+BY_0+CZ_0+D\ne0\)
- 重合：\(AX+BY+CZ=0,AX_0+BY_0+CZ_0+D=0\)
- 已知直线和平面方程，求二者的交点
- 写出\(l\)的参数方程\(x=x_0+Xt,y=y_0+Yt,z=z_0+Zt\)
- 代入到平面方程求出\(t=t_0\)
- 代\(t=t_0\)进入直线的参数方程，即可得到交点坐标
- 直线与平面的夹角
- 夹角：直线和它在平面上的射影直线的夹角 称为直线与平面的夹角
- 夹角公式\[\sin\varphi=|\cos\angle(\vec{v},\vec{n})|=\frac{AX+BY+CZ}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} \]
3. 直线与点的相对位置关系
- 点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)到直线\(l\)的距离
\[d = \frac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \]
4. 空间中两直线的相对位置关系
- 两直线的相对位置
设\(l_1:\frac{x-x_1}{X_1}=\frac{y-y_1}{Y_1}=\frac{z-z_1}{Z_1},l_2:\frac{x-x_2}{X_2}=\frac{y-y_2}{Y_2}=\frac{z-z_2}{Z_2}\)- 异面\[\Delta= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \end{vmatrix}\ne 0 \]
- 相交：\(\Delta=0,X_1:Y_1:Z_1 = X_2:Y_2:Z_2\)
- 平行：\(X_1:Y_1:Z_1 = X_2:Y_2:Z_2\ne (x_2-x_1):(y_2-y_1):(z_2-z_1)\)
- 重合：\(X_1:Y_1:Z_1 = X_2:Y_2:Z_2= (x_2-x_1):(y_2-y_1):(z_2-z_1)\)
- 异面
- 两直线之间的夹角
- 夹角：平行于空间两直线的两向量间的角，叫做空间两直线的夹角
- 夹角公式\[\cos\angle(l_1,l_2) = \pm\frac{X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2}{\sqrt{X_1^2+Y_1^2+Z_1^2}\sqrt{X_2^2+Y_2^2+Z_2^2}} \]
- 垂直：\(X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2=0\)
- 异面直线之间的距离
- 直线之间的距离：空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离
- 公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长
- 异面直线之间的距离：两异面直线间的距离等于它们公垂线的长
- 异面直线之间的距离公式
\[d = |\frac{(\overrightarrow{M_1M_2},\vec{v_1},\vec{v_2})}{\vec{v_1}\times\vec{v_2}}| \] - 公垂线方程
- 对于两直线\(l_1:\frac{x-x_1}{X_1}=\frac{y-y_1}{Y_1}=\frac{z-z_1}{Z_1};l_2:\frac{x-x_2}{X_2}=\frac{y-y_2}{Y_2}=\frac{z-z_2}{Z_2}\)
- 可以得到\(\pi_1,\pi_2\)两个平面\((\vec{v_1}=(X_1,Y_1,Z_1),\vec{v_2}=(X_2,Y_2,Z_2),\vec{v_1}\times\vec{v_2}=(X,Y,Z))\)\[\pi_1: \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X & Y & Z \end{vmatrix}=0 \]\[\pi_2: \begin{vmatrix} x-x_2 & y-y_2 & z-z_2 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \\ X & Y & Z \end{vmatrix}=0 \]
- 所求直线即为两平面交线
- 对于两直线\(l_1:\frac{x-x_1}{X_1}=\frac{y-y_1}{Y_1}=\frac{z-z_1}{Z_1};l_2:\frac{x-x_2}{X_2}=\frac{y-y_2}{Y_2}=\frac{z-z_2}{Z_2}\)
3. 平面束
1. 平面束的定义
- 有轴平面束：空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那条直线叫做平面束的轴
- 平行平面束：空间中平行于同一个平面的集合叫做平行平面束
2. 平面束的方程
- 如果两个平面\(\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\)交于一条直线\(L\)，那么以直线\(L\)为轴的有轴平面束的方程是\(l(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+m(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\)，其中\(l,m\)不全为零
- 如果两个平面\(\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\)为平行平面，即\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\)，那么平行平面束为\(l(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+m(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\)，平面束里任何一个平面都和平面\(\pi_1,\pi_2\)平行
- 推论：由平面\(\pi:Ax+By+Cz+D=0\)决定的平行平面束（即与平面平行的全体平面）的方程是\(Ax+By+Cz+\lambda=0\)，其中\(\lambda\)是任意实数
