02 轨迹与方程 | 解析几何
平面曲线、空间曲面和空间曲线
1. 平面曲线的方程
1. 曲线的方程
- 曲线的定义：平面上的曲线，是具有某种特征性质的点的集合；具体说，曲线上点的特征性质包含如下两方面要求
- 曲线上的点都具有这些性质
- 具有这些性质的点都在曲线上
- 曲线的方程：\(F(x,y)=0\)或者\(y=f(x)\)
2. 曲线的一般方程
- 一般方程：\(F(x,y) = 0\)或者\(y=f(x)\)
- 求解：通常通过点的某些共同性质写出曲线的一般方程
3. 曲线的参数方程
-
参数方程
- 向量式参数方程：\(\vec{r}(t) = (x(t),y(t)) = x(t)\vec{e_1}+y(t)\vec{e_2}\)，其中 \(\vec{r}\) 称为向径
- 坐标式参数方程\[\left\{\begin{array}{l} x = x(t)\\ y = y(t) \end{array}\right. \]
-
求解：有些曲线上动点的运动规律，不是直接反映为动点的两个坐标\(x,y\)之间的关系，而是直接表现为动点的位置随时间\(t\)或者角度\(\theta\)改变的规律，适合写出参数方程
-
一般方程和曲线方程的转换
- 曲线的一般方程能够转化成参数方程
- 将参数方程不一定能转化成一般方程
- 选取参数的时候注意参数取到的值要保证互化的方程形式等价，不能放大或者缩小值的域
-
旋轮线（摆线）：取直角坐标系, 设半径为\(a\)的圆在\(x\)轴上滚动,开始时点\(P\)恰在原点\(O\)(如图)，经一段时间\(t\)的滚动，\(P\)的轨迹被称为旋轮线或者摆线，则参数方程为
\[\left\{\begin{array}{l} x = a(\theta-\sin\theta)\\ y = a(1-\cos\theta)\qquad(-\infty<\theta<+\infty) \end{array}\right. \]
-
内旋轮线（内摆线）：已知大圆半径为 \(a\) ，小圆半径为 \(b\) ，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上某一定点 \(P\) 的轨迹叫做内旋轮线（内摆线\(hypocycloid\)），参数方程为
\[\left\{\begin{array}{l} x = (a-b)\cos\theta+b\cos\frac{a-b}{b}\theta\\ y = (a-b)\sin\theta-b\sin\frac{a-b}{b}\theta\qquad(-\infty<\theta<+\infty) \end{array}\right. \]
特别的，由
\[\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\space\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta \]当\(a=4b\)的时候，内旋轮线为四尖点星形线
\[\left\{\begin{array}{l} x = a\cos^3\theta\\ y = a\sin^3\theta\qquad(-\infty<\theta<+\infty) \end{array}\right. \] -
外旋轮线（外摆线）：已知大圆半径为 \(a\) ，小圆半径为 \(b\) ，设大圆不动，而小圆在大圆外无滑动地滚动，动圆周上某一定点 \(P\) 的轨迹叫做外旋轮线（外摆线\(epicycloid\)），参数方程为
\[\left\{\begin{array}{l} x = (a+b)\cos\theta-r\cos(\frac{a+b}{b}\theta)\\ y = (a+b)\sin\theta-r\sin(\frac{a+b}{b}\theta)\qquad(-\infty<\theta<+\infty) \end{array}\right. \]
2. 曲面的方程
1. 曲面方程的定义
- 曲面：具有某种特征性质的点的集合；具体说，曲面上点的特征性质也包含如下两方面要求
- 曲面上的点都具有这些性质
- 具有这些性质的点都在曲面上
2. 曲面方程的分类
- 曲面的一般方程
- 形式：\(F(x,y,z)=0\)或者\(z=f(x,y)\)
- 球面\(x^2+y^2+z^2+2gx+2hy+2kz+l=0\Longleftrightarrow(x+g)^2+(y+h)^2+(z+k)^2 = g^2+h^2+k^2-l\)
- 实球面：\(g^2+h^2+k^2-l>0\)
- 点：\(g^2+h^2+k^2-l = 0\)
- 虚球面：\(g^2+h^2+k^2-l<0\)
- 曲面的参数方程
-
向量式参数方程：如果取\(u,v\)的一切可能取的值，由\(\vec{r}(u,v)=x(u,v)\vec{e_1}+y(u,v)\vec{e_2}+z(u,v)\vec{e_3}\)表示的向径的终点总是在曲面上，那么曲面的向量式参数方程为\(\vec{r}(u,v)=x(u,v)\vec{e_1}+y(u,v)\vec{e_2}+z(u,v)\vec{e_3}\)
-
坐标式参数方程
\[\left\{\begin{array}{l} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \qquad a\le u\le b,c\le v\le d \\ z = z(u, v) \end{array}\right. \] -
球面的坐标参数方程
\[\left\{\begin{array}{l} x = r\cos\theta\cos\varphi \\ y = r\cos\theta\sin\varphi \qquad -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2},-\pi<\varphi\le\pi \\ z = r\sin\theta \end{array}\right. \]
-
3. 球坐标系和柱坐标系
-
球坐标\((\rho,\varphi,\theta)\)与直角坐标\((x,y,z)\)
\[\left\{\begin{array}{l} x = \rho\cos\theta\cos\varphi \\ y = \rho\cos\theta\sin\varphi \qquad -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2},-\pi<\varphi\le\pi,\rho\ge 0 \\ z = \rho\sin\theta \end{array}\right. \]\[\left\{\begin{array}{l} \rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \cos\varphi = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad \\ \theta = \arcsin\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \end{array}\right. \] -
柱坐标\((\rho,\varphi,u)\)和直角坐标\((x,y,z)\)
\[\left\{\begin{array}{l} x = \rho\cos\varphi \\ y = \rho\sin\varphi \qquad -\pi<\varphi\le\pi,\rho\ge 0 \\ z = u \end{array}\right. \]\[\left\{\begin{array}{l} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos\varphi = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad \\ u = z \end{array}\right. \]
4. 二次曲面
- 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲面
- 分类
3. 空间曲线方程
1. 空间曲线的一般方程
- 空间曲线：可以看作空间两个曲面的交线\[\left\{\begin{array}{l} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{array}\right. \]
2. 空间曲线的参数方程
- 向量式参数方程\(\vec{r}(t)=x(t)\vec{e_1}+y(t)\vec{e_2}+z(t)\vec{e_3}\)
- 坐标式参数方程\[\left\{\begin{array}{l} x = x(t)\\ y = y(t)\qquad a\le t\le b\\ z = z(t) \end{array}\right. \]
3. 空间曲线在坐标面的投影
- 投影柱面：设空间曲线的一般方程\(F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0\)，消去变量\(z\)得到\(H(x,y) = 0\)就是曲线关于\(xoy\)的 投影柱面，投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面
- 投影曲线：空间曲线在\(xoy\)面上的投影曲线\[\left\{\begin{array}{l} H(x,y) = 0\\ z = 0 \end{array}\right. \]同理，在\(yoz\)面上的投影曲线\[\left\{\begin{array}{l} R(y,z) = 0\\ x = 0 \end{array}\right. \]在\(xoz\)面上的投影曲面\[\left\{\begin{array}{l} T(x,z) = 0\\ y = 0 \end{array}\right. \]
