02 轨迹与方程 | 解析几何

1. 平面曲线的方程

1. 曲线的方程

1. 曲线的定义：平面上的曲线，是具有某种特征性质的点的集合；具体说，曲线上点的特征性质包含如下两方面要求
   1. 曲线上的点都具有这些性质
   2. 具有这些性质的点都在曲线上
2. 曲线的方程：$F(x,y)=0$或者$y=f(x)$

2. 曲线的一般方程

1. 一般方程：$F(x,y)=0$或者$y=f(x)$
2. 求解：通常通过点的某些共同性质写出曲线的一般方程

3. 曲线的参数方程

1. 参数方程

   1. 向量式参数方程：$\overrightarrow{r}(t)=(x(t),y(t))=x(t)\overrightarrow{e_1}+y(t)\overrightarrow{e_2}$，其中 $\overrightarrow{r}$ 称为向径
   2. 坐标式参数方程
      $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$$

2. 求解：有些曲线上动点的运动规律，不是直接反映为动点的两个坐标$x,y$之间的关系，而是直接表现为动点的位置随时间$t$或者角度$\theta$改变的规律，适合写出参数方程

3. 一般方程和曲线方程的转换

   1. 曲线的一般方程能够转化成参数方程
   2. 将参数方程不一定能转化成一般方程
   3. 选取参数的时候注意参数取到的值要保证互化的方程形式等价，不能放大或者缩小值的域

4. 旋轮线（摆线）：取直角坐标系, 设半径为$a$的圆在$x$轴上滚动,开始时点$P$恰在原点$O$(如图)，经一段时间$t$的滚动，$P$的轨迹被称为旋轮线或者摆线，则参数方程为

   $$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )(-\mathrm{\infty }<\theta <+\mathrm{\infty })\end{array}$$

   

5. 内旋轮线（内摆线）：已知大圆半径为 $a$ ，小圆半径为 $b$ ，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上某一定点 $P$ 的轨迹叫做内旋轮线（内摆线$hypocycloid$），参数方程为

   $$\{\begin{array}{l}x=(a-b)\cos \theta +b\cos \frac{a-b}{b}\theta \\ y=(a-b)\sin \theta -b\sin \frac{a-b}{b}\theta (-\mathrm{\infty }<\theta <+\mathrm{\infty })\end{array}$$

   

   特别的，由

   $$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta ,\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$$

   当$a=4b$的时候，内旋轮线为四尖点星形线

   $$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta (-\mathrm{\infty }<\theta <+\mathrm{\infty })\end{array}$$

6. 外旋轮线（外摆线）：已知大圆半径为 $a$ ，小圆半径为 $b$ ，设大圆不动，而小圆在大圆外无滑动地滚动，动圆周上某一定点 $P$ 的轨迹叫做外旋轮线（外摆线$epicycloid$），参数方程为

   $$\{\begin{array}{l}x=(a+b)\cos \theta -r\cos (\frac{a+b}{b}\theta )\\ y=(a+b)\sin \theta -r\sin (\frac{a+b}{b}\theta )(-\mathrm{\infty }<\theta <+\mathrm{\infty })\end{array}$$

   

2. 曲面的方程

1. 曲面方程的定义

1. 曲面：具有某种特征性质的点的集合；具体说，曲面上点的特征性质也包含如下两方面要求
   1. 曲面上的点都具有这些性质
   2. 具有这些性质的点都在曲面上

2. 曲面方程的分类

1. 曲面的一般方程
   1. 形式：$F(x,y,z)=0$或者$z=f(x,y)$
   2. 球面$x^2+y^2+z^2+2gx+2hy+2kz+l=0⟺(x+g{)}^2+(y+h{)}^2+(z+k{)}^2=g^2+h^2+k^2-l$
      1. 实球面：$g^2+h^2+k^2-l>0$
      2. 点：$g^2+h^2+k^2-l=0$
      3. 虚球面：$g^2+h^2+k^2-l<0$
2. 曲面的参数方程

   1. 向量式参数方程：如果取$u,v$的一切可能取的值，由$\overrightarrow{r}(u,v)=x(u,v)\overrightarrow{e_1}+y(u,v)\overrightarrow{e_2}+z(u,v)\overrightarrow{e_3}$表示的向径的终点总是在曲面上，那么曲面的向量式参数方程为$\overrightarrow{r}(u,v)=x(u,v)\overrightarrow{e_1}+y(u,v)\overrightarrow{e_2}+z(u,v)\overrightarrow{e_3}$

   2. 坐标式参数方程

      $$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)a\le u\le b,c\le v\le d\\ z=z(u,v)\end{array}$$

   3. 球面的坐标参数方程

      $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \cos \phi \\ y=r\cos \theta \sin \phi -\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2},-\pi <\phi \le \pi \\ z=r\sin \theta \end{array}$$

3. 球坐标系和柱坐标系

1. 球坐标$(\rho ,\phi ,\theta )$与直角坐标$(x,y,z)$

   $$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \cos \phi \\ y=\rho \cos \theta \sin \phi -\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2},-\pi <\phi \le \pi ,\rho \ge 0\\ z=\rho \sin \theta \end{array}$$
   $$\{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \cos \phi =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin \phi =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \theta =\arcsin \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{array}$$

2. 柱坐标$(\rho ,\phi ,u)$和直角坐标$(x,y,z)$

   $$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \phi \\ y=\rho \sin \phi -\pi <\phi \le \pi ,\rho \ge 0\\ z=u\end{array}$$
   $$\{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos \phi =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin \phi =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ u=z\end{array}$$

4. 二次曲面

1. 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲面
2. 分类

3. 空间曲线方程

1. 空间曲线的一般方程

1. 空间曲线：可以看作空间两个曲面的交线
   $$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

2. 空间曲线的参数方程

1. 向量式参数方程$\overrightarrow{r}(t)=x(t)\overrightarrow{e_1}+y(t)\overrightarrow{e_2}+z(t)\overrightarrow{e_3}$
2. 坐标式参数方程
   $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)a\le t\le b\\ z=z(t)\end{array}$$

3. 空间曲线在坐标面的投影

1. 投影柱面：设空间曲线的一般方程$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$，消去变量$z$得到$H(x,y)=0$就是曲线关于$xoy$的 投影柱面，投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面
2. 投影曲线：空间曲线在$xoy$面上的投影曲线
   $$\{\begin{array}{l}H(x,y)=0\\ z=0\end{array}$$
   同理，在$yoz$面上的投影曲线
   $$\{\begin{array}{l}R(y,z)=0\\ x=0\end{array}$$
   在$xoz$面上的投影曲面
   $$\{\begin{array}{l}T(x,z)=0\\ y=0\end{array}$$

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本文作者：RadiumGalaxy
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