03 多维随机变量及其分布 | 概率论与数理统计

1. 二维随机变量

1. 二维随机变量

1. 二维随机变量：设$E$是一个随机试验, 样本空间$S=e$. 设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的两个随机变量, 向量$(X,Y)$叫做二维随机向量或二维随机变量
2. $n$维随机变量：设随机试验$E$的样本空间$S=e.X_1,X_2,\dots ,X_n$是定义在$S$上的$n$个随机变量, 则称向量 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$为 $n$维随机变量（向量）
3. 分布函数：设$(X,Y)$是二维随机变量, 对于任意实数$x,y$,有$F(x)=P\{(X\le x)\cap (Y\le y)\}=P\{X\le x,Y\le y\}$称$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的 分布函数,或称为随机变量$X$ 和$Y$ 的 联合分布函数
   1. $F(x,y)$是变量$x$和$y$ 不减函数
   2. $0\le F(x,y)\le 1$$F(-\mathrm{\infty },y)=F(x,-\mathrm{\infty })=F(-\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })=0,F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=1$
   3. $F(x,y)$关于 $x$右连续, 关于 $y$右连续
   4. 对于任意$x_1<x_2,y_1<y_2$，有
      $$P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0$$

2. 二维离散型随机变量

1. 定义：$(X,Y)$的所有可能取值是有限对或可列无限多对

2. 二维离散$(X,Y)$的分布律(联合分布律):$(X,Y)$的所有可能取值$(x_i,y_j),P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$

3. 分布律性质

   1. $0\le p_{ij}\le 1$
   2. $\sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1$
   3. $F(x,y)=\sum _{x_i\le x,y_i\le y}{p}_{ij}$

4. 二维连续型随机变量

   1. 定义：设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$, 若存在一个非负函数$f(x,y)$，使得对任意$x,y$ ，有如下式子，则称$(X,Y)$为 二维连续型随机变量， $f(x,y)$称为$(X,Y)$的概率密度，或称为$X$和$Y$的 联合概率密度
      $$F(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(u,v)dudv$$

   2. 概率密度性质
      1. $f(x,y)\ge 0$
      2. ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dxdy=1$
      3. 在$f(x,y)$的连续点处，$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$
      4. $P((X,Y)\in G)=\underset{G}{\iint }f(x,y)dxdy$，$G$是一个平面区域
         （拉动(x,y)矩形覆盖定义域（图中的蓝色三角形）的面积积分即为$F(x)$）

2. 边缘分布

1. 边缘分布函数

1. 边缘分布函数：设$(X,Y)$为二位随机变量，其分布函数为$F(x,y)$，则$F_X(x)=P(X\le x)$是$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数，$F_Y(y)=P(Y\le y)$是$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布函数
2. $F_X(x)=F(x,\mathrm{\infty }),F_Y(y)=F(\mathrm{\infty },y)$

2. 离散型随机变量的边缘分布律

1. 若$(X,Y)$分布律为$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$，则$(X,Y)$关于$X$的边缘分布律$p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}$；$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布律$p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}$
2. $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{i\cdot }=1,\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{\cdot j}=1$
3. 离散型随机变量的边缘分布律列表
   

3. 连续性随机变量的边缘分布律

1. 设$(X,Y)$概率密度为$f(x,y)$，则$F_X(x)=F(x,\mathrm{\infty })={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dy]dx$，同理，$F_Y(y)=F(\mathrm{\infty },y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dx]dy$
2. 边缘概率密度：$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dy,f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dx$

4. 常见的二维分布

1. 均匀分布

   1. 设$G$为一面积为$A$平面有界区域，若$(X,Y)$具有如下概率密度，则称$(X,Y)$在域$G$服从 均匀分布
      $$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{A},& (x,y)\in G\\ 0,& otherwise\end{array}$$

   2. 均匀分布的边缘分布 不一定 是均匀分布

2. 二维正态分布

   1. 设二维随机变量$(X,Y)$具有如下概率密度，其中${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$是常数，且${\sigma }_1,{\sigma }_2>0,|\rho |<1$则称$(X,Y)$为服从参数为${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$的 二维正态分布，记为$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$
   $$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}$$

   2. 二维正态分布的边缘分布 一定是 正态分布，且$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$

   3. 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数$\rho$

   4. 边缘分布均为正态分布的随机变量，联合分布 不一定 是二维正态分布

3. 条件分布

1. 离散型随机变量的条件分布

1. 设$(X,Y)$是二维随机变量，其分布律为$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$，对固定 $i$, 若$p_{i\cdot }>0$，则$P(Y=y_i|X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}$称为在条件$X=x_i$ 下,随机变量$Y$的条件分布律；对固定 $j$, 若$p_{\cdot j}>0$，则$P(X=x_i|Y=y_i)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$称为在条件$Y=y_i$ 下,随机变量$X$的条件分布律

2. 连续型随机变量的条件分布

1. 给定$y$，设对于任意的$\epsilon >0$，$P(y<Y\le y+\epsilon )$若对于任意实数$x$，极限$F_{X|Y}(x|y)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}P(X\le x|y<Y\le y+\epsilon )$存在，则称此极限值为在条件$Y=y$下随机变量$X$的 条件分布函数，记为$F_{X|Y}(x|y)$或者$P(X\le x|Y=y)$；同理可以定义 $F_{Y|X}(y|x)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}P(Y\le y|x<X\le x+\epsilon )$
2. 注意：注意区分条件分布和条件概率，由于$P(Y=y)$可以为零，条件概率可能没有定义（连续型随机变量一定为零）
3. 条件概率密度：设$(X,Y)$的概率密度$f(x,y),(X,Y)$关于$Y$的边缘概率密度为$f_Y(y)$，若对固定的$y,f_y(y)>0$，则称$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$为在$Y=y$的条件下$X$的 条件概率密度，条件分布函数可以写作$F_{X|Y}(x|y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$；同理，若对固定的$x,f_x(x)>0$，则称$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$为在$X=x$的条件下$Y$的 条件概率密度，条件分布函数可以写作$F_{Y|X}(y|x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv$
4. 联合分布、边缘分布、条件分布的关系
   

4. 相互独立的随机变量

1. 相互独立

1. 设$F(x,y),F_X(x),F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$的分布函数以及边缘分布函数，如果对所有$x,y$，有$P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)\cdot P(Y\le y)$或者$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$，则称随机变量$X,Y$相互独立
2. 相互独立等价条件
   1. 连续型：$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$
   2. 离散型：$p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$
3. 设随机变量$X$与$Y$相互独立,令$U=h(x),V=g(Y)$，其中$h(x),g(y)$为连续函数，则$U$与$V$也 相互独立
   1. 推广1：设$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$的分布函数为$F(X_1,X_2,\dots ,X_n)$，若对任意的实数$x_1,x_2,\dots ,x_n$均有$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=F(x_1)F(x_2)\cdots F(x_n)$，则称$X_1,X_2,\dots ,X_n$相互独立（注意区分独立事件和独立变量）
   2. 推广2：若对任意的实数$x_1,x_2,\dots ,x_m;y_1,y_2,\dots ,y_n$均有$F(x_1,x_2,\dots ,x_m,y_1,y_2,\dots ,y_n)$，则称$X_1,X_2,\dots ,X_m$与$Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$相互独立
   3. 推广3：设$X_1,X_2,\dots ,X_m$与$Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$相互独立，则$X_i$与$Y_j$相互独立，其中$h,g$为连续函数，则$h(X_1,X_2,\dots ,X_m)$与$Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$也 相互独立

5. 二维随机变量的函数的分布

1. 函数的分布

1. 离散型随机变量的函数分布
   1. 对于二维离散型随机变量$(X,Y)$，如果有$Z=f(X,Y)$，那么 $Z$的分布律就是$(X,Y)$在函数$f$的作用产生的值再对应相等求和即可
2. 连续型随机变量的函数分布
   1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，则利用 分布函数法
      $$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(Z\le z)\\ & =P(g(X,Y)\le z)\\ & =P((X,Y)\in D_Z)\\ & =\underset{D_Z}{\iint }f(x,y)dxdy\\ f_Z(z)& =F_Z^{{}^{\prime }}(z)\end{array}$$

2. 常见的函数分布

1. $Z=X+Y$

   1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，那么$Z=X+Y$的概率密度为$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(z-y,y)dy$
   2. 卷积公式：当$X,Y$相互 独立的时候，有卷积公式$f_Z(z)=f_X(x)\ast f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$
   3. 推论
      1. 如果 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$而且相互独立，那么$Z=X+Y$也服从 正态分布，且$Z\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$
      2. 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
         $$\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i\sim N(\sum _{i=1}^n{c}_i{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{c}_i^2{\sigma }_i^2)$$

   4. 推导
      $$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =\underset{x+y\le z}{\iint }f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-x}f(x,y)dy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z}f(x,u-x)du(y=u-x)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^z[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,u-x)dx]du\\ f_Z(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx\end{array}$$

2. $Z=X-Y$

   1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，那么$Z=X-Y$的概率密度为$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,x-z)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(z+y,y)dy$
   2. 互相关：当$X,Y$相互 独立的时候，$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(z+y)f_Y(y)dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(x-z)dx$

3. $Z=Y/X,Z=XY$

   1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，那么$Z=Y/X,Z=XY$的概率密度分别为
      $$\begin{gathered} f_{Y/X}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x|f(x,zx)dx \\ {f}_{XY}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx \end{gathered}$$

   2. 当$X,Y$相互独立时，$Z=Y/X,Z=XY$的概率密度分别为
      $$\begin{gathered} f_{Y/X}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x|f_X(x)f_Y(zx)dx \\ {f}_{XY}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{|x|}{f}_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx \end{gathered}$$

   3. 证明

4. 最大值最小值分布

   1. 设$X,Y$是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是$F_X(x),F_Y(y)$，那么对于任意的实数$z$
      1. $F_{max}(z)=P(max(X,Y)\le z)=P(X\le z,Y\le z)=P(X\le z)P(Y\le z)=F_X(z)F_Y(z)$
      2. $F_{min}(z)=P(min(X,Y)\le z)=1-P(min(X,Y)>z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$
   2. 推广：设$X_1,\dots ,X_n$相互独立,其分布函数分别为 $F_{X_i}(x_i)$
      1. $F_{max}(z)=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(z)$
      2. $F_{min}(z)=1-\prod _{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)]$
      3. 如果$X_1,\dots ,X_n$相互独立而且具有相同分布函数$F(x)$，有$F_{max}(z)=[F(z){]}^n,F_{min}(z)=1-[1-F(z){]}^n$

$\mathrm{\Gamma }$分布
如果随机变量$X$的概率密度为 $f(x)=\frac{\beta }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(\beta x{)}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}(x>0,\alpha >0,\beta >0)$其他区间为0
则称$X$服从参数为$\alpha ,\beta$的分布，记为$X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$
一般结论：如果$X_1,\dots ,X_n$相互独立，而且$X_i$服从参数为${\alpha }_i,\beta$的$\mathrm{\Gamma }$分布，那么$X_1+\cdots +X_n$服从参数为${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n,\beta$的$\mathrm{\Gamma }$分布

$\mathrm{\Gamma }$函数
$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt(x>0)$
性质

1. $\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$
2. $\mathrm{\Gamma }(1)=1$
3. 对于任何$\alpha >0,\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )$
4. 对于任意正整数$n$，有$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

图像

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本文作者：RadiumGalaxy
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