10 双线性函数 | 高等代数

1. 线性函数

1. 线性函数

1. 定义：设$V$是数域$P$上的线性空间，映射$f:V\to P$，若满足对$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in V,k\in P$
   1. $f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )$
   2. $f(k\alpha )=kf(\alpha )$
      则称$f$是$V$上的一个 线性函数
2. 性质
   1. $f(0)=0,f(-\alpha )=-f(\alpha )$
   2. 若$\beta =k_1{\alpha }_1+\cdots +k_n{\alpha }_n$，则$f(\beta )=k_{1}f({\alpha }_1)+\cdots +k_{n}f({\alpha }_n)$
3. 设$V$是数域$P$上的$n$维线性空间，${\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n$为$V$的一组基，$a_1,\cdots ,a_n$为$P$中的任意$n$个数，则存在 唯一 的$V$上的线性函数$f$使$f({\epsilon }_i)=a_i,i=1,2,\dots ,n$

2. 对偶空间

1. 对偶空间

1. 对偶空间：设$V$是数域$P$上的$n$维线性空间，$L(V,P)$表示$V$上全体线性函数的集合，在$L(V,P)$中定义加法和数乘运算：$\mathrm{\forall }f,g\in L(V,P),\alpha \in V,k\in P,(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha );(k\cdot f)(\alpha )=k\cdot f(\alpha )$，则$L(V,P)$构成数域$P$上的线性空间，称之为$V$的 对偶空间，记为$V^{\ast }$
2. 性质：$f+g,kf$都是 线性函数$\to L(V,P)$构成数域$P$上的线性空间

2. 对偶基

1. 对偶基：取定$V$的一组基${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$，作$V$上的$n$个线性函数$f_1,\dots ,f_n$，使得
   $$f_i({\epsilon }_j)=\{\begin{array}{cc}1,& j=i\\ 0,& j\ne i\end{array}$$
   则$f_1,\dots ,f_n$为$V^{\ast }=L(V,P)$的一组基，称之为${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$的 对偶基
2. 性质
   1. 对于任意的向量$\alpha =x_1{\epsilon }_1+\cdots +x_n{\epsilon }_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{\epsilon }_i\in V,f_i(\alpha )=x_i$，即$\alpha =f_1(\alpha ){\epsilon }_1+\cdots +f_n(\alpha ){\epsilon }_n$
   2. $f_1,\dots ,f_n$线性无关
   3. $\mathrm{\forall }f\in V^{\ast },f=\sum _{i=1}^{n}f({\epsilon }_i)f_i$
   4. $dim(V^{\ast })=dim(V)$
3. 两组对偶基的转换：设$V$是数域$P$上的一个$n$维线性空间，${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$与${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$是$V$的两组基，他们的对偶基分别是$f_1,\dots ,f_n$与$g_1,\dots ,g_n$，再设$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)A$，$(g_1,\dots ,g_n)=(f_1,\dots ,f_n)B$，则$B^T=A^{-1}$或者$B=(A^T{)}^{-1}$

3. 对偶空间的对偶

1. 设$V$是数域$P$上的线性空间，$V^{\ast }$是其对偶空间，取定$V$中一个向量$x$，定义$V^{\ast }$的一个函数$x^{\ast \ast }：x^{\ast \ast }(f)=f(x),f\in V^{\ast }$，且可以验证$x^{\ast \ast }$是$V^{\ast }$的一个线性函数
2. $V\cong V^{\ast \ast }$：设$V$是数域$P$上的线性空间，$V^{\ast \ast }$是$V$的对偶空间的对偶空间，则两者 同构
3. $V$和$V^{\ast \ast }$是互为对偶空间的
4. 每个线性函数或者是满的或者是零映射

3. 双线性函数

1. 双线性函数

1. 双线性函数：设$V$是数域$P$上的线性空间，$f(\alpha ,\beta )$是$V$上一个二元函数，即对$V$任意两个向量$\alpha ,\beta$，根据$f$都唯一对应数域$P$的一个$f(\alpha ,\beta )$，有下列性质，则$f(\alpha ,\beta )$是$V$上的一个双线性函数
   1. $f(\alpha ,k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2)=k_{1}f(\alpha ,{\beta }_1)+k_{2}f(\alpha ,{\beta }_2)$
   2. $f(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,\beta )=k_{1}f({\alpha }_1,\beta )+k_{2}f({\alpha }_2,\beta )$
2. 对于$V$上双线性函数$f(\alpha ,\beta )$，将其中一个变元固定时是另一个变元的 线性函数
3. 双线性函数的表达形式：设$P^n$是数域$P$上的$n$维列向量构成的线性空间，$X,Y\in P^n$，再设$A$是$P$上一$n$阶矩阵，即$A\in P^{n\times n}$，令$f(X,Y)=X^{T}AY$，则$f(X,Y)$是$P^n$上的一个双线性函数，$f(X,Y)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{y}_j$

2. 度量矩阵

1. 度量矩阵：设$f(\alpha ,\beta )$是数域$P$上的任意$n$维线性空间$V$上的双线性函数，${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$是$V$的一组基，则矩阵

   $$A=\left[\begin{array}{cccc}f({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)& f({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)& \cdots & f({\epsilon }_1,{\epsilon }_n)\\ f({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)& f({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)& \cdots & f({\epsilon }_2,{\epsilon }_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f({\epsilon }_n,{\epsilon }_1)& f({\epsilon }_n,{\epsilon }_2)& \cdots & f({\epsilon }_n,{\epsilon }_n)\end{array}\right]$$

   称为$f(\alpha ,\beta )$在${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$下的 度量矩阵

2. 在给定基下, $V$上全体双线性函数与$P$上全体$n$级矩阵$P^{n\times n}$之间存在1─1对应的关系

3. 线性空间$V$上双线性函数空间$V^{\ast }$与$P^{n\times n}$同构

4. $n$维线性空间$V$上同一双线性函数$f(\alpha ,\beta )$在$V$的不同基下的矩阵是 合同的

5. 非退化

   1. 设$f(\alpha ,\beta )$是线性空间$V$上的一个双线性函数，如果从$f(\alpha ,\beta )=0,\mathrm{\forall }\beta \in V$可推出$\alpha =0$则称$f(\alpha ,\beta )$是 非退化的
   2. 双线性函数$f(\alpha ,\beta )$是非退化的当且仅当$f(\alpha ,\beta )$的度量矩阵为非退化的

3. 对称与反对称

1. 对称双线性函数：$f(\alpha ,\beta )$是线性空间$V$上的一个双线性函数，如果对$V$中任意两个向量$\alpha ,\beta$有$f(\alpha ,\beta )=f(\beta ,\alpha )$那么称$f(\alpha ,\beta )$是 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数：如果对$V$中任意两个向量$\alpha ,\beta$有$f(\alpha ,\beta )=-f(\beta ,\alpha )$那么称$f(\alpha ,\beta )$是 反对称双线性函数
3. 对称双线性函数的度量矩阵是 对称矩阵；反对称双线性函数的度量矩阵是 反对称矩阵（主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号）
4. 设$V$是数域$P$上的$n$维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$是$V$上的一个双线性函数，则存在$V$上的一组基${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$，使得$f(\alpha ,\beta )$在这组基下的度量矩阵为 对角矩阵
   1. 推论：设$V$是 复数域 上 $n$ 维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$是$V$上对称双线性函数，则存在$V$的一组基${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$，对$V$中任意向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\epsilon }_i,\beta =\sum _{i=1}^n{y}_i{\epsilon }_i$有$f(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+\cdots +x_r{y}_r(0\le r\le n)$
   2. 推论：设$V$是 实数域 上 $n$ 维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$是$V$上对称双线性函数，则存在$V$的一组基${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$，对$V$中任意向量$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\epsilon }_i,\beta =\sum _{i=1}^n{y}_i{\epsilon }_i$有$f(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+\cdots +x_p{y}_p-x_{p+1}{y}_{p+1}-\cdots -x_r{y}_r(0\le p\le r\le n)$
5. 二次齐次函数：设$V$是数域$P$上的$n$维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$是$V$上的一个双线性函数，当$\alpha =\beta$时，$f(\alpha ,\alpha )$是$f(\alpha ,\beta )$对应的 二次齐次函数
6. 反对称函数的基：设$V$是数域$P$上的$n$维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$是$V$上的一个反对称双线性函数，则存在$V$的一组基${\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1},\cdots ,{\epsilon }_r,{\epsilon }_{-r},{\eta }_1,\cdots ,{\eta }_s$使得
   $$\{\begin{array}{cc}f({\epsilon }_i,{\epsilon }_{-i})=1,& i=1,\dots ,r\\ f({\epsilon }_i,{\epsilon }_{-j})=0,& i\ne -j\\ f(\alpha ,{\eta }_k)=0,& \alpha \in V,k=1,\dots ,s\end{array}$$

4. 双线性函数与空间

1. 设$V$是数域$P$上的线性空间，在$V$上定义了一个非退化双线性函数，则$V$称为一个 双线性度量空间
2. 当$f$是非退化对称双线性函数时， $V$称为$P$上的 正交空间
3. 当$V$是𝒏维实线性空间， $f$是非退化对称双线性函数时， $V$称为 准欧氏空间
4. 当$f$是非退化反对称双线性函数时 ,称$V$为 辛空间；有着非退化双线性函数$f$的双线性度量空间常记为$(V,f)$

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本文作者：RadiumGalaxy
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