10 双线性函数 | 高等代数
1. 线性函数
1. 线性函数
- 定义：设\(V\)是数域\(P\)上的线性空间，映射\(f:V\rightarrow P\)，若满足对\(\forall \alpha,\beta \in V,k\in P\)
- \(f(\alpha+ \beta)=f(\alpha)+f(\beta)\)
- \(f(k\alpha) = kf(\alpha)\)
则称\(f\)是\(V\)上的一个 线性函数
- 性质
- \(f(0)=0,f(-\alpha) = -f(\alpha)\)
- 若\(\beta = k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n\)，则\(f(\beta)=k_1f(\alpha_1)+\cdots+k_nf(\alpha_n)\)
- 设\(V\)是数域\(P\)上的\(n\)维线性空间，\(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\)为\(V\)的一组基，\(a_1,\cdots,a_n\)为\(P\)中的任意\(n\)个数，则存在 唯一 的\(V\)上的线性函数\(f\)使\(f(\varepsilon_i)=a_i,i = 1,2,\dots,n\)
2. 对偶空间
1. 对偶空间
- 对偶空间：设\(V\)是数域\(P\)上的\(n\)维线性空间，\(L(V,P)\)表示\(V\)上全体线性函数的集合，在\(L(V,P)\)中定义加法和数乘运算：\(\forall f,g\in L(V,P),\alpha\in V,k\in P,(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha);(k\cdot f)(\alpha)=k\cdot f(\alpha)\)，则\(L(V,P)\)构成数域\(P\)上的线性空间，称之为\(V\)的 对偶空间，记为\(V^{\ast}\)
- 性质：\(f+g,kf\)都是 线性函数\(\rightarrow L(V,P)\)构成数域\(P\)上的线性空间
2. 对偶基
- 对偶基：取定\(V\)的一组基\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)，作\(V\)上的\(n\)个线性函数\(f_1,\dots,f_n\)，使得\[f_i(\varepsilon_j)=\left\{\begin{matrix} 1,& j = i\\ 0, & j\ne i \end{matrix}\right. \]则\(f_1,\dots,f_n\)为\(V^{\ast}=L(V,P)\)的一组基，称之为\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)的 对偶基
- 性质
- 对于任意的向量\(\alpha = x_1\varepsilon_1 + \cdots + x_n\varepsilon_n=\sum_{i=1}^nx_i\varepsilon_i\in V,f_i(\alpha)=x_i\)，即\(\alpha=f_1(\alpha)\varepsilon_1+\cdots+f_n(\alpha)\varepsilon_n\)
- \(f_1,\dots,f_n\)线性无关
- \(\forall f\in V^{\ast},f=\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon_i)f_i\)
- \(dim(V^{\ast})=dim(V)\)
- 两组对偶基的转换：设\(V\)是数域\(P\)上的一个\(n\)维线性空间，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)与\(\eta_1,\dots,\eta_n\)是\(V\)的两组基，他们的对偶基分别是\(f_1,\dots,f_n\)与\(g_1,\dots,g_n\)，再设\((\eta_1,\dots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)A\)，\((g_1,\dots,g_n)=(f_1,\dots,f_n)B\)，则\(B^T=A^{-1}\)或者\(B=(A^T)^{-1}\)
3. 对偶空间的对偶
- 设\(V\)是数域\(P\)上的线性空间，\(V^{\ast}\)是其对偶空间，取定\(V\)中一个向量\(x\)，定义\(V^{\ast}\)的一个函数\(x^{\ast\ast}：x^{\ast\ast}(f)=f(x),f\in V^{\ast}\)，且可以验证\(x^{\ast\ast}\)是\(V^{\ast}\)的一个线性函数
- \(V\cong V^{\ast\ast}\)：设\(V\)是数域\(P\)上的线性空间，\(V^{\ast\ast}\)是\(V\)的对偶空间的对偶空间，则两者 同构
- \(V\)和\(V^{\ast\ast}\)是互为对偶空间的
- 每个线性函数或者是满的或者是零映射
3. 双线性函数
1. 双线性函数
- 双线性函数：设\(V\)是数域\(P\)上的线性空间，\(f(\alpha, \beta)\)是\(V\)上一个二元函数，即对\(V\)任意两个向量\(\alpha, \beta\)，根据\(f\)都唯一对应数域\(P\)的一个\(f(\alpha, \beta)\)，有下列性质，则\(f(\alpha,\beta)\)是\(V\)上的一个双线性函数
- \(f(\alpha, k_1\beta_1+k_2\beta_2)=k_1f(\alpha, \beta_1)+k_2f(\alpha,\beta_2)\)
- \(f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta)=k_1f(\alpha_1,\beta)+k_2f(\alpha_2,\beta)\)
- 对于\(V\)上双线性函数\(f(\alpha, \beta)\)，将其中一个变元固定时是另一个变元的 线性函数
- 双线性函数的表达形式：设\(P^n\)是数域\(P\)上的\(n\)维列向量构成的线性空间，\(X,Y\in P^n\)，再设\(A\)是\(P\)上一\(n\)阶矩阵，即\(A\in P^{n\times n}\)，令\(f(X,Y)=X^TAY\)，则\(f(X,Y)\)是\(P^n\)上的一个双线性函数，\(f(X,Y)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_iy_j\)
2. 度量矩阵
-
度量矩阵：设\(f(\alpha, \beta)\)是数域\(P\)上的任意\(n\)维线性空间\(V\)上的双线性函数，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)是\(V\)的一组基，则矩阵
\[A=\begin{bmatrix} f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)& f(\varepsilon_1,\varepsilon_2)& \cdots & f(\varepsilon_1,\varepsilon_n) \\ f(\varepsilon_2,\varepsilon_1)& f(\varepsilon_2,\varepsilon_2)& \cdots & f(\varepsilon_2,\varepsilon_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f(\varepsilon_n,\varepsilon_1)& f(\varepsilon_n,\varepsilon_2)& \cdots & f(\varepsilon_n,\varepsilon_n) \end{bmatrix} \]称为\(f(\alpha, \beta)\)在\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)下的 度量矩阵
-
在给定基下, \(V\)上全体双线性函数与\(P\)上全体\(n\)级矩阵\(P^{n\times n}\)之间存在1─1对应的关系
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线性空间\(V\)上双线性函数空间\(V^{\ast}\)与\(P^{n\times n}\)同构
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\(n\)维线性空间\(V\)上同一双线性函数\(f(\alpha,\beta)\)在\(V\)的不同基下的矩阵是 合同的
-
非退化
- 设\(f(\alpha,\beta)\)是线性空间\(V\)上的一个双线性函数，如果从\(f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta\in V\)可推出\(\alpha = 0\)则称\(f(\alpha,\beta)\)是 非退化的
- 双线性函数\(f(\alpha,\beta)\)是非退化的当且仅当\(f(\alpha,\beta)\)的度量矩阵为非退化的
3. 对称与反对称
- 对称双线性函数：\(f(\alpha,\beta)\)是线性空间\(V\)上的一个双线性函数，如果对\(V\)中任意两个向量\(\alpha, \beta\)有\(f(\alpha,\beta) = f(\beta,\alpha)\)那么称\(f(\alpha,\beta)\)是 对称双线性函数
- 反对称双线性函数：如果对\(V\)中任意两个向量\(\alpha, \beta\)有\(f(\alpha,\beta) = -f(\beta,\alpha)\)那么称\(f(\alpha,\beta)\)是 反对称双线性函数
- 对称双线性函数的度量矩阵是 对称矩阵；反对称双线性函数的度量矩阵是 反对称矩阵（主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号）
- 设\(V\)是数域\(P\)上的\(n\)维线性空间，\(f(\alpha,\beta)\)是\(V\)上的一个双线性函数，则存在\(V\)上的一组基\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)，使得\(f(\alpha,\beta)\)在这组基下的度量矩阵为 对角矩阵
- 推论：设\(V\)是 复数域 上 \(n\) 维线性空间，\(f(\alpha,\beta)\)是\(V\)上对称双线性函数，则存在\(V\)的一组基\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)，对\(V\)中任意向量\(\alpha=\sum_{i=1}^{n}x_i\varepsilon_i,\beta=\sum_{i=1}^{n}y_i\varepsilon_i\)有\(f(\alpha, \beta)=x_1y_1+\cdots+x_ry_r(0\le r \le n)\)
- 推论：设\(V\)是 实数域 上 \(n\) 维线性空间，\(f(\alpha,\beta)\)是\(V\)上对称双线性函数，则存在\(V\)的一组基\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)，对\(V\)中任意向量\(\alpha=\sum_{i=1}^{n}x_i\varepsilon_i,\beta=\sum_{i=1}^{n}y_i\varepsilon_i\)有\(f(\alpha, \beta)=x_1y_1+\cdots+x_py_p-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots-x_ry_r(0\le p \le r \le n)\)
- 二次齐次函数：设\(V\)是数域\(P\)上的\(n\)维线性空间，\(f(\alpha,\beta)\)是\(V\)上的一个双线性函数，当\(\alpha = \beta\)时，\(f(\alpha,\alpha)\)是\(f(\alpha,\beta)\)对应的 二次齐次函数
- 反对称函数的基：设\(V\)是数域\(P\)上的\(n\)维线性空间，\(f(\alpha,\beta)\)是\(V\)上的一个反对称双线性函数，则存在\(V\)的一组基\(\varepsilon_1,\varepsilon_{-1},\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{-r},\eta_1,\cdots,\eta_s\)使得\[\left\{\begin{matrix} f(\varepsilon_i,\varepsilon_{-i})=1,&i = 1,\dots, r \\ f(\varepsilon_i, \varepsilon_{-j})=0,&i\ne -j \\ f(\alpha, \eta_k)=0,&\alpha\in V,k = 1,\dots,s \end{matrix}\right. \]
4. 双线性函数与空间
- 设\(V\)是数域\(P\)上的线性空间，在\(V\)上定义了一个非退化双线性函数，则\(V\)称为一个 双线性度量空间
- 当\(f\)是非退化对称双线性函数时， \(V\)称为\(P\)上的 正交空间
- 当\(V\)是𝒏维实线性空间， \(f\)是非退化对称双线性函数时， \(V\)称为 准欧氏空间
- 当\(f\)是非退化反对称双线性函数时 ,称\(V\)为 辛空间；有着非退化双线性函数\(f\)的双线性度量空间常记为\((V,f)\)
