01 多项式 | 高等代数

1. 数域

1. 数域P定义：
   • 包括0和1
   • 任意两个数的和差积商（除数不为零）都落在P
2. 有理数域是任意数域P的一部分

2. 一元多项式

1. 一元多项式定义：
   • 次数n为非负整数
   • 有限项
   • 系数属于数域P，这些一元多项式的全体为数域P上的一元多项式环，记作$P[x]$
2. 多项式分类
   • 系数全为0为零多项式，不定义次数
   • 当同次项的系数全部相等，则多项式相等
3. 次数 $\partial (f(x))$:最高次数
   • $\partial (f(x)\pm g(x))\le max(f(x),g(x))$
   • $\partial (f(x)\cdot g(x))=\partial (f(x))+\partial (g(x))(f(x)\ne 0,g(x)\ne 0)$
4. 多项式乘法
   • 如果 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i,g(x)=\sum _{j=0}^m{b}_j{x}^j$
   • 则 $f(x)\cdot g(x)=\sum _{s=0}^{m+n}(\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j)x^s$

环和域
环对除法不封闭：两个典型的整环：整数环和一元多项式环
域对四则运算封闭：例如有理数域和有理式域

3.整除的概念

1. 带余除法：对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x)$与$g(x)$，其中$g(x)\ne 0$,那么$P[x]$中一定存在唯一的$q(x)$和$r(x)$，$\partial (q(x))>\partial (r(x))$,使得 $f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x)$

   • 有带余除法的环被称为$Euclid\mathrm{环}$，因此整数环和$P[x]$都是$Euclid\mathrm{环}$

   • 带余除法求$q(x)$和$r(x)$：

     1. 竖式除法
        

     2. 待定系数法：猜测$q(x)$和$r(x)$的次数，之后假设系数利用待定系数法求出系数

     3. 综合除法
        

     例如$f(x)=x^4-2x^2+3$表示成$(x+2)$的方幂和：
     

     则$f(x)=(x+2{)}^4-8(x+2{)}^3+22(x+2{)}^2-24(x+2)+11$

2. 整除：如果数域P上存在$h(x)$，使得$f(x)=h(x)\cdot g(x)$，则称$g(x)$整除$f(x)$，记作$g(x)\mid f(x)$，否则记作$g(x)\nmid f(x)$
   • 整除 $\iff$ 则$r(x)=0$
   • 当$g(x)\mid f(x)$时，$g(x)$为$f(x)$的因式，$f(x)$为$g(x)$的倍式
   • 如果$f(x)\mid g(x)$，$g(x)\mid f(x)$，那么$f(x)=cg(x)$（$c$ 为非零常数），称$f(x)$与$g(x)$ 相伴
   • 整除具有传递性：$f(x)\mid g(x),g(x)\mid h(x)$，则$f(x)\mid h(x)$
   • 组合：如果$f(x)\mid g_i(x)(i=1,2,\cdots ,r)$，那么$f(x)\mid \sum _{i=1}^r{u}_i(x)g_i(x)$，其中$\sum _{i=1}^r{u}_i(x)g_i(x)$是多项式$g_1(x),g_2(x)\cdots g_r(x)$的组合
   • 两个多项式之间的整除关系不会因为系数域的扩大而改变

4. 最大公因式

1. 最大公因式的定义

假设$f(x)$、$g(x)$是$P[x]$中两个多项式，$P[x]$中$d(x)$多项式被称为$f(x)$、$g(x)$的一个最大公因式，需要满足下面两个条件

1. $d(x)\mid f(x),d(x)\mid g(x)$
2. $f(x),g(x)$的公因式全是$d(x)$的公因式 $⟺d(x)$是$f(x),g(x)$的组合
   我们用$(f(x),g(x))$表示首项系数为1的最大公因式

2. 一元多项式的贝祖定理

1. 对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x),g(x)$，在$P[x]$中存在一个最大公因式$d(x)$，且$d(x)$可以表示为$f(x),g(x)$的一个组合，即有$P[x]$中的多项式使得： $d(x)=u(x)\cdot f(x)+v(x)\cdot g(x)$
2. 带余除法引理：若$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$成立，那么$f(x),g(x)$和$g(x),r(x)$有相同的公因式，也有相同的最大公因式
3. 辗转相除法：假设$f(x)、g(x)$，则有下列一系列等式：
   $f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$
   $g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$
   $\cdots$
   $r_{s-3}(x)=q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)+r_{s-1}(x)$
   $r_{s-2}(x)=q_s(x)r_{s-1}(x)+r_s(x)$
   $r_{s-1}(x)=q_{s+1}(x)r_s(x)+0$
   则不断往回代得：$r_s(x)$为$f(x)$和$g(x)$的最大公因式
4. $u(x),v(x)$的取值不唯一；最大公因式是所有公因式中次数最大的，也是使得贝祖定理等式成立的多项式之中次数最小的
5. 求解最大公因式的方法：辗转相除法+竖式除法：
   $f(x)=x^4-x^3-x^2+2x-1,g(x)=x^3-2x+1$,求$u(x),v(x)$，使得$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)+g(x))$
   

由于$r_3(x)=0,-r_2(x)=x-1$ 为 $(f(x),g(x))$

3. 多项式的互素

1. 互素：两个多项式 $f(x),g(x)$ 互素，如果 $(f(x),g(x))=1$
2. 互素的充要条件： 存在多项式$u(x),v(x),u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$
3. 互素的性质定理
   1. 如果 $(f(x),g(x))=1,f(x)\mid g(x)h(x)$ ， 则 $f(x)\mid h(x)$
   2. 如果 $f_1(x)\mid g(x),f_2(x)\mid g(x)$ ， 则 $f_1(x)f_2(x)\mid g(x)$

4. 多个多项式的最大公因式

1. 定义：$d(x)$ 是 $f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_s(x)$ 的最大公因式，如果
   1. $d(x)\mid f_i(x),i=1,2,\cdots ,s$
   2. 如果存在 $\phi (x)\mid f_i(x)$ , 则 $\phi (x)\mid d(x)$
2. $(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_s(x))=((f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{s-1}(x)),f_s(x))$
3. $(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_s(x))=u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f(x)+\cdots +u_s(x)f_s(x)$ , 如果全部互素，则 $(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_s(x))=1$

5. 因式分解定理

1. 不可约多项式

1. 不可约多项式的定义：数域 $P$ 上次数大于等于 $1$ 的多项式 $p(x)$ 被称为数域 $P$ 上的不可约多项式，如果它不能表示成两个 $P$ 上的比 $p(x)$次数更低的多项式的乘积
2. 是否可约依赖于数域的选择
3. 不可约多项式的性质
   • 一次多项式总是不可约多项式
   • 不可约多项式的因式只有非零常数和 $cp(x)$
   • 零多项式和零次多项式无可不可约的说法（次数必须大于等于 $1$）
4. 不可约多项式的等价描述
   1. $p(x)$ 是不可约多项式
   2. $\mathrm{\forall }f(x)\in P[x],p(x)\mid f(x)$ 或 $(p(x),f(x))=1$
   3. 由$p(x)\mid f(x)g(x)$ 可以推出 $p(x)\mid f(x)$ 或 $p(x)\mid g(x)$
   4. $p(x)$ 不能分解成两个次数比它低的多项式

2. 因式分解唯一性

1. 因式分解及唯一性定理：数域 $P$ 上每一个次数 $\ge 1$ 的多项式 $f(x)$ 都可以被唯一的分解成一些不可约多项式的乘积，即 $f(x)=p_1(x)p_2(x)\cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x)\cdots q_t(x)$，则必有 $s=t$ 而且 $p_i(x)=c_i{q}_i(x)$ （归纳法证明）

2. $P[x]$ 是 唯一析因整环

3. 标准分解式：$f(x)=c{p}_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)=\prod _{i=1}^s{p}_i^{r_i}(x)$

4. 若次数大于等于1的多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$的标准分解式为

   $$\begin{gathered} f(x)=c_1{p}_1^{l_1}(x)\cdots p_u^{l_u}(x)\cdot s_{u+1}^{l_{u+1}}\cdots s_m{l}_m(x) \\ g(x)=c_2{p}_1^{r_1}(x)\cdots p_u^{r_u}(x)\cdot t_{u+1}^{k_{u+1}}\cdots t_n{k}_n(x) \end{gathered}$$

   其中 $p_1(x),\cdots ,p_u(x)$ 式它们的全部公共不可约因式，则

   1. $f(x)|g(x)$ 的充分必要条件式 $l_i\le r_i,i=1,\cdots ,u$ 且$s_j(x)$不存在
   2. $(f(x),g(x))=\prod _{i=1}^u{p}_i^{min(l_i,r_i)}(x)$

6. 重因式

1. 重因式定义：不可约多项式 $p(x)$ 称为多项式 $f(x)$ 的 $k$ 重多项式，如果 $p^k(x)|f(x)$，且$p^{k+1}(x)\nmid f(x)$，如果$k=0$，则$p(x)$不是$f(x)$的因式；如果$k=1$，则$p(x)$称为$f(x)$单因式；如果$k>1$，则$p(x)$称为$f(x)$的重因式
2. 重因式定理
   1. 重因式定理：如果不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式，那么它是微商 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 的 $k-1$ 重因式
   2. 逆定理：$p(x)$为 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 的 $k-1$ 重因式，但是未必是 $f(x)$ 的重因式；只有当 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的因式时，$p(x)$ 才是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式
   3. 推论
      1. 如果不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式，那么它是微商 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 的 $k-1$ 重因式 , $f^{{}^{″}}(x)$ 的 $k-2$ 重因式，$\cdots f^{(k-1)}$ 的 $1$ 重因式
      2. 重因式的 判断 ：不可约多项式 $p(x)$ 是$f(x)$的重因式的充分必要条件为$p(x)$是$f(x)$和 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 公因式
      3. 多项式 $f(x)$ 没有重因式的充分必要条件是 $f(x)$ 和 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 互素
      4. 判断多项式是否是重因式可以 求导+辗转相除法
   4. 去除因式重数的方法：$\frac{f(x)}{(f(x),f^{{}^{\prime }}(x))}$

7. 多项式函数

1. 多项式函数

1. 多项式函数定义：设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ 是 $P[x]$ 中的多项式，$\alpha$ 是数域 $P$ 中的数。称 $a_n{\alpha }^n+a_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +a_0$ 为 $f(x)$ 当 $x=\alpha$ 时的值，记为 $f(\alpha )$，由多项式 $f(x)$ 定义的这个函数称为数域上的 多项式函数
2. 上述的 $\alpha$ 被称为 $f(x)$ 的一个 根 或者 零点
3. $f(x)$ 在复数域、实数域、有理数域上的根分别称为复根、实根、有理根
4. 余数定理 ： 用多项式 $x-\alpha$ 去除多项式 $f(x)$ ，所得到的余式为 $f(\alpha )⟹$ 若多项式 $x-\alpha$ 是多项式 $f(x)$ 的因式，即 $(x-\alpha )|f(x)$，则 $f(\alpha )=0$
5. 重根：如果 $x-\alpha$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式，则称 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重根；当 $k=1$ ，$\alpha$称为单根；当 $k>1$ ，$\alpha$ 称为重根
   1. $\alpha$ 是 $f(x)$ 的重根，当且仅当 $f(\alpha )=f^{{}^{\prime }}(\alpha )=0$
   2. $\alpha$ 是 $f(x)$ 的重根当且仅当 $\alpha$ 是 $(f(x),f^{{}^{\prime }}(x))$ 的根
   3. 若$(f(x),f^{{}^{\prime }}(x))=1$ ，则 $f(x)$ 无重根（在任意数域上）

2. 多项式函数定理

1. $P[x]$ 中 $n$ 次多项式 $(n\ge 0)$ 在数域中的根不多于 $n$ 个（重根按照重数计算）
2. 如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 次数都不超过 $n$ ，若存在 $n+1$ 个不同的数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$ 使得 $f({\alpha }_i)=g({\alpha }_i)$ ，那么 $f(x)=g(x)$

3. $Lagrange$ 插值公式

• 设 $f(x)$ 次数小于 $n$，且在 $n$ 个互异点 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,n\in P$ 处的值为 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots {\beta }_n$ ，即 $f({\alpha }_i)={\beta }_i$，则多项式就可以由这 $n$ 个点处的值完全确定:

$$f(x)=\sum _{i=1}^n\frac{(x-{\alpha }_1)\cdots (x-{\alpha }_{i-1})(x-{\alpha }_{i+1})\cdots (x-{\alpha }_n)}{({\alpha }_i-{\alpha }_1)\cdots ({\alpha }_i-{\alpha }_{i-1})({\alpha }_i-{\alpha }_{i+1})\cdots ({\alpha }_i-{\alpha }_n)}{\beta }_i$$

8. 复系数与实系数多项式的因式分解

1. 代数基本定理

   1. 代数基本定理：每一个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域上必有一根
   2. 每一个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域上一定有一次因式
   3. 复数域上次数 $>1$ 的复系数多项式都是可约的

2. $n$ 次单位根：

   多项式	根	复平面旋转角度
   $x-1=0$	$x=1$	$0$
   $x^2-1=0$	$x=\pm 1$	$0,\pi$
   $x^3-1=0$	$$\begin{gathered} x=\cos \frac{2k\pi }{3}+i\sin \frac{2k\pi }{3} \\ (k=0,1,2) \end{gathered}$$	$0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$
   $x^n-1=0$	$$\begin{gathered} x=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n} \\ (k=0,1,\cdots ,n) \end{gathered}$$	$0,\frac{2\pi }{n},\cdots ,\frac{2(n-1)\pi }{n}$

3. 复系数多项式因式分解定理： 每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式都可以被唯一的分解为一次因式的乘积；标准分解式 $f(x)=a_n(x-{\alpha }_1{)}^{l_1}(x-{\alpha }_2{)}^{l_2}\cdots (x-{\alpha }_s{)}^{l_s}$

4. 实系数多项式因式分解定理： 每个次数 $\ge 1$ 的实系数多项式在实数域上都可以唯一分解为一次因式与二次不可约多项式的乘积

9. 有理系数多项式

1. 本原多项式

1. 本原多项式定义：如果一个非零整系数多项式的系数都是 互素 的，那么就称为 本原多项式
   • 任意有理系数多项式都可以表示为一个有理数乘上一个本原多项式
2. 高斯引理：任何两个本原多项式的 乘积 还是本原多项式
3. 非零整系数多项式 $f(x)$ 如果能够分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么 $f(x)$必能分解为两个次数较低的 整系数 多项式的乘积
   • 推论：设$f(x)$和$g(x)$都是整系数多项式，其中$g(x)$还是本原多项式，如果$f(x)=g(x)h(x)$，$h(x)$是有理系数多项式，那么$h(x)$也是 整系数 多项式
   • 一个次数大于零的本原多项式 $g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可约当且仅当 $g(x)$能分解为两个次数较低的本原多项式的乘积

2. 有理根

1. 设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ 是一个整系数多项式，而 $\frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $r,s$互素，那么必有 $s|a_n,r|a_0$，特别的，如果$f(x)$的首项系数$a_n=1$，那么$f(x)$的有理根都是整根，而且是$a_0$的因子
2. 爱森斯坦$(Eisenstein)$判别法：设$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$是一个整系数多项式
   1. 如果存在 素数$p$:
      1. $p\nmid a_n$
      2. $p|a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_0$
      3. $p^2\nmid a_0$
         则 $f(x)$ 在有理数域上不可约
   2. 如果存在 素数$p$:
      1. $p\nmid a_0$
      2. $p|a_n,a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_1$
      3. $p^2\nmid a_n$
         则 $f(x)$ 在有理数域上不可约

如果不满足爱森斯坦判别法的多项式可以进行 变量替换 创造出完全的系数

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本文作者：RadiumGalaxy
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