01 概率论的基本概念 | 概率论与数理统计

1. 随机试验

1. 随机试验的特点：

1. 可重复性：每次可以在相同的条件重复的进行实验
2. 可观察性：每次实验的可能结果不止一个，并且是先明确实验的所有可能结果
3. 不确定性：进行一次试验之前不能明确哪一个结果会发生

2. 样本空间和随机事件

1. 样本空间

1. 样本空间$(SampleSpace)$：随机试验$E$中所有可能结果的集合
2. 样本点：$E$中的每一个结果

2. 随机事件

1. 随机事件：样本空间$S$的子集为$E$的随机事件
2. 基本事件：由一个样本点组成的单点集
3. 不可能事件 $\varnothing$

3. 事件之间的关系和运算

1. 包含：$A\subset B$，A发生必然导致B发生
2. 和事件：$A\cup B$，当且仅当A和B至少有一个发生，和事件发生；类似的，$\bigcup _{k=1}^n{A}_k$为$A_1,A_2,\dots A_n$的和事件
3. 积事件：$A\cap B$，当且仅当A和B都发生，积事件$AB$发生；类似的，$\bigcap _{k=1}^n{A}_k$为$A_1,A_2,\dots A_n$的积事件
4. 差事件：$A-B$，A发生而且B不发生
5. 互斥事件：若$A\cap B=\varnothing$，则A和B为互斥事件
6. 对立事件：若$A\cup B=S,A\cap B=\varnothing$，则A和B为对立事件

德摩根律：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i}=\bigcap _{i=1}^n\overline{A_i}\text{(2)}& \overline{\bigcap _{i=1}^n{A}_i}=\bigcup _{i=1}^n\overline{A_i}\end{array}$$

3. 频率与概率

1. 频率

1. 频数：在相同条件下进行 $n$ 次实验，事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 为事件 $A$ 的频数
2. 频率：比值 $\frac{n_A}{n}$ 称为事件 $A$ 发生的频率 ， 记作 $f_n(A)$
3. 频率的性质：
   1. $0\le f_n(A)\le 1$
   2. $f_n(S)=1$
   3. 如果 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为不相容事件，那么 $f_n(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+\cdots +f_n(A_n)$

2. 概率

1. 概率 $P(A)$ ： 满足以下条件
   1. 非负性： $P(A)\ge 0$
   2. 完备性（规范性）： 对于必然事件 $S,P(S)=1$
   3. 可列可加性：如果 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为不相容事件，那么 $P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)$
2. 概率的性质
   1. $P(\varnothing )=0$
   2. 有限可加性：如果 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为不相容事件，那么 $P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)$
   3. 如果 $A\subset B$ ， 则有 $P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)\le P(B)$
   4. $P(A)\le 1$
   5. $P(\bar{A})=1-P(A)$
   6. 容斥原理：$P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i{A}_j)+\cdots +(-1{)}^{n-1}P(A_1{A}_2\cdots A_n)$

4. 古典概型

1. 古典概型：等可能概型：

1. 样本空间包含有限个元素
2. 每个基本事件的发生的可能性相同
3. 如果事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，即 $A=e_1\cup e_2\cup \cdots \cup e_k$ ， 则 $P(A)=\sum _{j=1}^{k}P(e_j)=\frac{k}{n}=\frac{A\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{事}\mathrm{件}\mathrm{数}}{S\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{事}\mathrm{件}\mathrm{数}}$

2. 超几何分布

$$P=\frac{C_D^k\cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}$$

5. 条件概率

1. 条件概率

1. 概念：设两个事件是 $A$ 和 $B$，并且 $P(A)>0$ ，则称 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件$A$发生的条件下事件$B$发生的概率
2. 性质
   1. 非负性：对于每一个事件 $B$， 必有 $P(B|A)\ge 0$
   2. 规范性: 对于必然事件 $S$，有 $P(S|A)=1$
   3. 可列可加性：如果 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 为不相容事件，那么 $P(B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)+\cdots +P(B_n|A)$

2. 乘法定理

1. 乘法公式：设 $P(A)>0$，则有 $P(AB)=P(B|A)P(A)$
2. 推广：设 $P(AB)>0$，则有 $P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$；一般的，设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$为$n$个事件，$n\ge 2$，且$P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1})>0$，则有

$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_n|A_1,A_2,\cdots ,A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1,A_2,\cdots ,A_{n-2})\cdots P(A_2|A_1)P(A_1)$$

3. 全概率公式和贝叶斯公式

1. 划分：设 $S$是试验 $E$ 的样本空间，$B_1,B_2,\cdots ,B_n$为$E$的一组事件，若
   1. $B_i{B}_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,2,\dots ,n$
   2. $B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n=S$
      则称 $B_1,B_2,\cdots B_n$ 为样本空间 $S$ 的一组 划分
2. 全概率公式：设 $S$是试验 $E$ 的样本空间，$B_1,B_2,\cdots ,B_n$为$E$的一个划分，$P(B_i)>0$ , $A$ 为 $S$ 的一个事件，则有 全概率公式

$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots +P(A|B_n)P(B_n)$$

3. 贝叶斯公式：设 $S$是试验 $E$ 的样本空间，$B_1,B_2,\cdots ,B_n$为$E$的一个划分，$P(B_i)>0$ , $A$ 为 $S$ 的一个事件，$P(A)>0$，则有贝叶斯$(Bayes)$公式

$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}i=1,2,\cdots ,n$$

4. 若取 $n=2$ ，那么全概率公式和贝叶斯公式变化为：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B}),\text{(4)}& \text{(5)}& P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}\end{array}$$

6. 独立性

1. 独立性定义：$P(AB)=P(A)P(B)$
2. 若 $A,B$ 相互独立，且$P(A)>0$，则$P(B|A)=P(B)$
3. 若 $A,B$ 相互独立，则$A$与$\bar{B}$，$\bar{A}$与$B$，$\bar{A}$与$\bar{B}$相互独立
4. $n$ 个事件的独立性
   1. 三个事件$A,B,C$ 如果满足
   $$\begin{array}{}\text{(6)}& P(AB)=P(A)P(B)\text{(7)}& P(AC)=P(A)P(C)\text{(8)}& P(BC)=P(B)P(C)\text{(9)}& P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$
   则称事件$A,B,C$相互独立
   2. 对于 $n$ 个事件，如果对于任意$2,3,\dots ,n$个积事件的概率都等于各事件的概率之积，则称这$n$个事件相互独立

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本文作者：RadiumGalaxy
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