笔记 | 第一个量子算法：Deutsch-Jozsa算法，非常好懂！

《关于胡小兔的博客又诈尸了这件事》

信息物理真是难啊！上节课讲了量子计算的最基础的概念和Deutsch-Jozsa算法，我看了好几天才看懂……
等考完试估计我就忘了，所以今天先写个博客给未来的我讲讲！

前置技能

// 这部分暂时鸽了。
// 信女愿在博客更新量子计算基础合集，只求小学期两门A-……
// 不过安利一个网站：IBM的量子计算教程，还可以用IBM的qiskit库实践！而且这个网站的颜值真的很高2333

Deutsch算法

众所周知，量子计算机可以利用量子比特（qubit）的叠加态，实现并行计算，从而快速计算一些传统计算机上复杂度很高的问题。但是这种并行计算是怎么实现的呢……？为了理解量子并行，我们找到了一个很好的例子——Deutsch算法。顾名思义，学会这个Deutsch算法，你的Deutsch-Jozsa就学会一大半了（雾

目标

有一个未知的黑盒 $f: \{0, 1\} \rightarrow \{0, 1\}$ ，求 $f(0) \oplus f(1)$ （ $\oplus$ 表示异或）。

传统算法

在传统计算机上，我们必须调用 $f$ 函数两次，一次求 $f(0)$ ，一次求 $f(1)$ ，再异或起来，得到答案。但是在量子电路中，只需要一次计算！

量子算法

Deutsch算法就是如下的电路：

其中，中间那个大方块 $U_f$ 是一个特殊的门，输入 $x$ 和 $y$ ，输出 $x$ 和 $y\oplus f(x)$ 。三个 $H$ 门是Hadamard门，要记得：

H | 0 ⟩ = | + ⟩ = (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / \sqrt{2}

$H|0\rangle = |+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt2$

H | 1 ⟩ = | - ⟩ = (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2}

$H|1\rangle = |-\rangle = (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2$

H | + ⟩ = | 0 ⟩

$H|+\rangle = |0\rangle$

H | - ⟩ = | 1 ⟩

$H|-\rangle = |1\rangle$

| ψ_{1} ⟩ = (H | 0 ⟩) (H | 1 ⟩) = (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / 2.

接下来就要考虑这个 $U_f$ 了。为了计算方便，我们先设它第一个输入值是 $|x\rangle$ ，第二个输入值直接代入 $(|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2$ 。那么，

\begin{aligned} U_{f} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} & = | x ⟩ (| f (x) ⟩ - | 1 \oplus f (x) ⟩) / \sqrt{2} \\ = {\begin{cases} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2}, if f (x) = 0, \\ | x ⟩ (| 1 ⟩ - | 0 ⟩) / \sqrt{2}, if f (x) = 1 \end{cases} \\ = (- 1)^{f (x)} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} . \end{aligned}

$\begin{aligned} U_f |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2 &= |x\rangle (|f(x)\rangle - |1\oplus f(x)\rangle)/\sqrt2 \\ &= \begin{cases} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2, \text{ if }f(x) = 0, \\ |x\rangle (|1\rangle - |0\rangle)/\sqrt2, \text{ if }f(x) = 1 \\ \end{cases}\\ &= (-1)^{f(x)} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2. \end{aligned}$

看起来非常的简洁！

接下来把 $x = (|0\rangle + |1\rangle) / \sqrt2$ 代进去：

\begin{aligned} | ψ_{2} ⟩ & = U_{f} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / 2 \\ = [(- 1)^{f (0)} | 0 ⟩ + (- 1)^{f (1)} | 1 ⟩] (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / 2 \\ = (- 1)^{f (0)} [| 0 ⟩ + (- 1)^{f (0) \oplus f (1)} | 1 ⟩] (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / 2. \end{aligned}

$\begin{aligned} |\psi_2\rangle &= U_f (|0\rangle + |1\rangle)(|0\rangle - |1\rangle)/2 \\ &= \left[(-1)^{f(0)} |0\rangle + (-1)^{f(1)} |1\rangle\right] (|0\rangle - |1\rangle)/2 \\ &= (-1)^{f(0)} \left[|0\rangle + (-1)^{f(0)\oplus f(1)} |1\rangle\right] (|0\rangle - |1\rangle)/2. \\ \end{aligned}$

其实分开写就是

| ψ_{2} ⟩ = {\begin{cases} (- 1)^{f (0)} | + ⟩ | - ⟩, if f (0) \oplus f (1) = 0, \\ (- 1)^{f (0)} | - ⟩ | - ⟩, if f (0) \oplus f (1) = 1. \end{cases}

$|\psi_2\rangle = \begin{cases} (-1)^{f(0)}|+\rangle|-\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 0, \\ (-1)^{f(0)}|-\rangle|-\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 1. \\ \end{cases}$

但是我们实在不喜欢 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ ，还是更喜欢 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 。于是我们又在第一条输出线路上加了一个H门，把 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 转换回 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 。这样， $|\psi_{3L}\rangle$ （就是 $|\psi_3\rangle$ 中的第一个qubit，即右上角被测量的那个比特）就是：

| ψ_{3 L} ⟩ = {\begin{cases} (- 1)^{f (0)} | 0 ⟩, if f (0) \oplus f (1) = 0, \\ (- 1)^{f (0)} | 1 ⟩, if f (0) \oplus f (1) = 1. \end{cases}

$|\psi_{3L}\rangle = \begin{cases} (-1)^{f(0)}|0\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 0, \\ (-1)^{f(0)}|1\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 1. \\ \end{cases}$

这样我们只需要沿 $|0\rangle$ 测量一下 $|\psi_{3L}\rangle$ ，测出 $|0\rangle$ 就说明 $f(0) \oplus f(1) = 0$ ，反之就说明 $f(0) \oplus f(1) = 1$ ，这样就可以100%确定 $f(0) \oplus f(1)$ 的值了！至此就是Deutsch算法的内容。

神奇的地方在于：在量子版的算法中，我们只调用了一次 $U_f$ ！而在传统计算机上，我们至少要调用两次 $f$ 。你可能会说：差个常数2有啥大不了的嘛！确实，在Deutsch算法并没有在复杂度上体现出量子算法的优越性，但是接下来的Deutsch-Jozsa算法就能体现出本质上的差异了！

Deutsch-Jozsa算法

目标

有一个未知的黑盒 $f: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ ， $f$ 可能有以下两种性质之一：

f是常函数。
f是均匀的（balanced）。这里均匀指的是： $f(x)$ 对于恰好一半的 $x$ 得 $0$ ，而对另恰好一半的 $x$ 得 $1$ 。

求 $f$ 具有以上两种性质中的哪一种。

量子算法

Deutsch-Jozsa算法的电路图：

上面那“一条”线路实际上是 $n$ 条，左上角的 $\not-^n$ 符号表示这条线路代表 $n$ 条线路。输入也随之变成了 $|\psi_0\rangle = |0\rangle^{\otimes n}|1\rangle$ 。可以发现，Deutsch-Jozsa算法的电路图除了把第一条线路扩成了 $n$ 条之外，和Deutsch算法的电路图并没有什么区别。（是不是突然有自信看懂了！）

让我们再用熟悉的方法，逐个计算 $|\psi_0\rangle, |\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, |\psi_3\rangle$ 。

\begin{aligned} | ψ_{1} ⟩ & = (H | 0 ⟩^{\otimes n}) (H | 1 ⟩) \\ = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{n}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \dots \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} \\ = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{n}} \sum_{x \in {0, 1}^{n}} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} . \\ | ψ_{2} ⟩ & = U_{f} | ψ_{1} ⟩ = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{n}} \sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{f (x)} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} . \end{aligned}

$\begin{aligned} |\psi_1\rangle &= (H|0\rangle^{\otimes n})(H|1\rangle) \\ &= \frac{1}{\sqrt2^n}(|0\rangle + |1\rangle)\otimes(|0\rangle + |1\rangle)\otimes\cdots\otimes(|0\rangle + |1\rangle)\otimes(|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2\\ &= \frac{1}{\sqrt2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle) / \sqrt2.\\ |\psi_2\rangle &= U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle) / \sqrt2. \end{aligned}$

最后一步，我们要计算 $|\psi_{3L}\rangle = H|\psi_2\rangle$ 。这一步稍微有点难算，再坚持一下！

考虑单个qubit $x_1$ ，有
$H|x_1\rangle = \sum_{z_1 \in \{0, 1\}} (-1)^{x_1z_1} |z_1\rangle$ ，
那么对 $n$ 个qubit组成的 $|x\rangle$ ，有

H | x ⟩ = H | x_{1} x_{2} \dots x_{n} ⟩ = \sum_{z \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i} z_{i}} | z ⟩ / {\sqrt{2}}^{n} .

$H|x\rangle = H|x_1 x_2 \cdots x_n\rangle = \sum_{z \in \{0, 1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i z_i} |z\rangle / \sqrt2^n.$

所以

| ψ_{3 L} ⟩ = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{n}} \sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{f (x)} H | x ⟩ = \frac{1}{2^{n}} \sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{f (x)} \sum_{z \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i} z_{i}} | z ⟩ .

$|\psi_{3L}\rangle = \frac{1}{\sqrt2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} H|x\rangle = \frac1{2^n} \sum_{x \in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} \sum_{z \in \{0, 1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i z_i} |z\rangle.$

接下来我们测量一下 $|\psi_{3L}\rangle$ ，见证奇迹的时刻到了！

测得 $|0\rangle^{\otimes n}$ 的概率是：

⟨ ψ_{3 L} | 0 ⟩ ⟨ 0 | ψ_{3 L} ⟩ = {(\frac{1}{2^{n}} \sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{f (x)})}^{2},

$\langle \psi_{3L} | 0 \rangle \langle 0 | \psi_{3L} \rangle = \left(\frac1{2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)}\right)^2,$

当 $f$ 是常函数时，所有 $(-1)^{f(x)}$ 都相等， $\sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} = \pm 1$ ，平方之后就等于 $1$ ，所以测出 $|0\rangle^{\otimes n}$ 的概率是1；
当 $f$ 是均匀的函数时，一半 $(-1)^{f(x)} = 1$ ，另一半 $(-1)^{f(x)} = -1$ ， $\sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} = 0$ ，平方之后依然等于 $0$ ，所以测出 $|0\rangle^{\otimes n}$ 的概率是0。

这样，只需运行这个电路一次，就可以100%确定 $f$ 的性质了！

一些常见的困惑

Q：啥是量子计算……啥是qubit……
A：反正大概是OI用不到的东西……Qiskit Textbook欢迎你！（再次免费打广告）

Q：不是啊，你连 $f$ 是啥都不知道，你这个 $U_f$ 咋从 $f$ 构建出来的啊？
A：好问题！答案是，并不知道怎么构建……这个算法应用的场景其实是“给出一个量子黑盒 $U_f$ ”，而不是给出 $f$ 。（如果给出 $f$ ，把 $f$ 读进来、搞出一个真值表的复杂度就有 $2^n$ 了……总之这个算法解决的问题不是这个。）

Q：只看上面那条线路， $U_f$ 对于 $|x\rangle$ 不是相当于单位矩阵 $I_n$ 一样，没有产生改变嘛？为啥第一条线路输出的不是 $H^{\otimes n}I_nH^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n} = |0\rangle^{\otimes n}$ 呢？
A：好、好问题！问题出在“ $U_f$ 对于 $|x\rangle$ 相当于单位矩阵 $I_n$ ”这句话上。事实上， $U_f$ 并不能写作 $I_n \otimes U_f'$ 的形式，也就是说 $U_f$ 并不能分成两个矩阵分别影响上下两条线路。

Q：我还是不明白。 $|x\rangle$ 是 $|0\rangle^{\otimes n}$ 经过H门后得到的，再经过一次H门为啥没变回去？？？
A：换种说法，经过 $U_f$ 门之后，上下两条线路（ $|x\rangle$ 和 $|y\rangle \oplus f(x)$ ）发生了纠缠，所以 $U_f$ 门输出的“两条线路”也无法分成“ $|x\rangle \otimes (|y\rangle \oplus f(x))$ ”这样的“张量积”形式，因而不能分开单独考虑了。

Q：所以这个算法有啥用处吗？
A：它的用处大概是……帮你理解量子并行计算，证明量子并行计算与传统计算机相比有优越之处。现在看起来，Deutsch-Jozsa算法解决的问题或许没啥用处，但或许以后类似的方法能解决更重要的问题吧~（现学现卖，并未深入了解 =_=|||）

以上就是Deutsch-Jozsa算法的讲解啦，我也刚学，可能有很多错误，欢迎大佬指正！>v<

Acknowledgement：感谢lpy大佬解答我的菜问题ﾍ(;´Д｀ﾍ)

posted @ 2020-09-06 14:51 胡小兔阅读(9631) 评论(7) 编辑收藏举报

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