以 BZOJ 2002 为例学习有根树LCT(Link-Cut Tree)

以BZOJ 2002 弹飞绵羊为例学习有根树LCT(Link-Cut Tree)

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注：本文非常简单，只涉及有根树LCT，对于无根树，LCT还有几个本文没有提到的操作，以后慢慢更新 =v=

知识储备

• splay
• 树链剖分

题意

有一棵\(n\)个节点的有根树，动态修改父子关系（保证仍是一棵有根树），并询问某节点深度。

题解

这是一道LCT(Link-Cut Tree)的模板题。

Link-Cut Tree （又）是Tarjan发明的一种算法，可以解决一类动态树问题。“动态树问题”就是像本题这种，随时修改树的结构的问题。

LCT在思想上有些类似于树链剖分。

回顾一下树剖：

在树剖中，我们把边分为重边和轻边两种，重边相连形成了重链，而重链可以用线段树维护。

美中不足的是，线段树无法完成“动态修改”的需要。那么什么数据结构最灵活，能随时断开/连接呢？那当然是——splay啦。

所以，LCT就是用好多棵splay平衡树来维护原树上的每条“实链”（类似树剖的“重链”）。

具体是如何维护的呢？可以看这幅图：

左图是原树，右图是我们建出的splay树。

左图中的每一条实链都对应着右图中一棵“完整的”（不带“箭头”的）平衡树，如（1，2，3）、（4，5）、（6）各自组成一棵平衡树。每棵完整的平衡树都把节点在原树中的深度作为关键字，例如4比5深度小，所以是5的左儿子；3比1深度大，所以是1的右儿子。当然，身为splay，右图不是左图对应的唯一平衡树，还有很多种可能的合法平衡树。

而左图上的每一条虚边(u, v)，则使用了一种“单向边”来维护：设u是父亲、v是儿子，则在右图中，v所在的平衡树的根节点“认”u所在的平衡树的根节点为父亲，而反过来，父亲却不认儿子。这种关系在右图中用单向的箭头表示了。例如，在原图中，(1, 4)是一条虚边，4所在的平衡树的根节点是5，1所在的平衡树的根节点是1，所以右图中fa[5] = 1，而1却不认为5是它的儿子。

好的，现在你对LCT如何实现有了个初步的印象了！那么接下来，我们逐个学习LCT涉及到的操作。

操作1：Access

Access操作是所有LCT操作的基础！Access(u)会把根节点到u路径上的所有边都变成“实边”，使得u和根节点处于一棵完整平衡树中。

代码实现：

void access(int u){
    int v = 0; //一开始v是空节点，其余时刻v都是要与u连接的小平衡树的根节点
    while(u){
        splay(u); //将u在旋至它所在的平衡树的根节点
        rs[u] = v; //因为v深度更大，所以让v作为u的右儿子
        upt(u); //修改儿子后，莫忘调用单节点更新函数
        v = u, u = fa[u];
    }
}

是不是不算很难呐~

操作2：Cut

顾名思义，Cut就是切断原树中的一条边。下面代码中，Cut(u)表示切断u和父亲的连边。这道题是有根树，非常简单——先Access(u)，使u和跟节点处在同一平衡树中，然后完全切断u向fa[u]连的那条边，即使得“父子互不相认”即可。

void cut(int u){
    access(u);
    splay(u);
    fa[ls[u]] = 0, ls[u] = 0;
    upt(u);
}

操作3：Link

顾名思义，Link就是绿帽子林克将两个节点连到一起，即在原树中加边的操作。

这道题是有根树，有根树中Link操作非常简单：Link(u, v)表示把u作为v的儿子——那么直接令fa[u] = v即可。

void link(int u, int v){
    cut(u);void cut(int u){
    access(u);
    splay(u);
    fa[ls[u]] = 0, ls[u] = 0;
    upt(u);
}
    fa[u] = v;
}

有根树LCT涉及的基本操作只有这三条！只要写个splay、再写这三个函数，BZOJ 2002 弹飞绵羊这道题就很好写啦！

附上我的代码（大部分是Copycat企鹅学长的……）

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
template <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c > '9' || c < '0')
	if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
	x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 200005;
int n, m, ta, tb;
int fa[N], ls[N], rs[N], sze[N];
#define isroot(u) (ls[fa[u]] != (u) && rs[fa[u]] != (u))
#define which(u) (ls[fa[u]] == (u))
void upt(int u){
    sze[u] = sze[ls[u]] + sze[rs[u]] + 1;
}
void rotate(int u){
    int v = fa[u], w = fa[v], b = which(u) ? rs[u]: ls[u];
    if(!isroot(v)) which(v) ? ls[w] = u: rs[w] = u;
    which(u) ? (ls[v] = b, rs[u] = v): (rs[v] = b, ls[u] = v);
    fa[u] = w, fa[v] = u;
    if(b) fa[b] = v;
    upt(v), upt(u);
}
void splay(int u){
    while(!isroot(u)){
	if(!isroot(fa[u])){
	    if(which(u) == which(fa[u])) rotate(fa[u]);
	    else rotate(u);
	}
	rotate(u);
    }
}
void access(int u){
    int v = 0;
    while(u){
	splay(u);
	rs[u] = v;
	upt(u);
	v = u, u = fa[u];
    }
}
void cut(int u){
    access(u);
    splay(u);
    fa[ls[u]] = 0, ls[u] = 0;
    upt(u);
}
void link(int u, int v){
    cut(u);
    fa[u] = v;
}
int main(){
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
	read(ta), sze[i] = 1, fa[i] = ta + i > n ? 0 : ta + i;
    read(m);
    while(m--){
	read(ta);
	if(ta == 1){
	    read(ta), ta++;
	    access(ta);
	    splay(ta);h
	    write(sze[ls[ta]] + 1), enter;
	}
	else{
	    read(ta), read(tb), ta++;
	    link(ta, ta + tb > n ? 0 : ta + tb);
	}
    }
    return 0;
}