趣谈生成函数 =v=

趣谈生成函数 =v=

今天luyouqi在洛谷随机跳题rand出来一道生成函数板子题，然后我给做了（雾

发现小伙伴们还不会生成函数，于是我试着写这篇生成函数简介。（其实我也不怎么会生成函数这么高级的东西，本篇纯属道听途说，大家看着当故事娱乐一下就好）

食用指南

• 笔和草算纸是推荐的食用工具

从前有一个无限长的随便一个数列\(a = \{2, 1, 4, 7, 4\}\)，有一天，一个大佬说：能不能用一个函数表示这个数列呢？于是大佬把\(a\)的每一项当做一个多项式的系数，得到了多项式函数\(f(x) = 2 + x + 4x^2 + 7x^3 + 4x^4\)，用来表示上面那个序列。大佬很开心。

大佬的朋友——蒟蒻感到疑惑：这个函数代入一个\(x\)，得到的东西有什么意义啊？

大佬思考了一会，说：也没什么意义。

蒟蒻说：那你研究它有个*儿用？

大佬又思考了一会，找到了它的一种用途。假如数列\(a\)代表一类物品，中\(a_i\)表示这类物品中选\(i\)件物品的方案数——例如\(a = \{1, 1, 1\}\)表示A类物品中可以选0件或1件或2件，但不能选大于2件；又例如无限长数列\(b = \{1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1...\}\)表示B类物品只能选3的倍数件。这时候，把\(f(x) = 1 + x + x^2\)和\(g(x) = 1 + x^3 + x^6 + x^9 ...\)乘起来，得到另一个函数\(h(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...\)。这个函数有什么意义呢？它的第\(i\)项的系数就是选A、B两种物品共\(i\)件的方案数。

蒟蒻说：这有啥，不就是把两个多项式乘起来么？和\(O(n^2)\)一个个枚举有什么区别？

大佬说：嗯……你可以FFT……

蒟蒻：哦。没有这个函数我也知道可以FFT。

大佬不认为这个“用函数表示数列”的东西很没用，他决定继续研究，还给它取了个名字叫做数列的“生成函数”，表示用这个函数能生成（表示）一个数列。

有一天，大佬告诉蒟蒻他发现了一个规律——\(a = \{1, 1, 1, 1, 1...\}\)的生成函数是\(f(x) = \frac{1}{1 - x}\)

蒟蒻说：老哥，您不会是研究数学研究傻了吧？它的生成函数不是\(1 + x + x^2 + x^3...\)嘛？怎么会等于您这个\(\frac{1}{1 - x}\)呢？

大佬说：对啊！\(1 + x + x^2 + x^3...\)就等于\(\frac{1}{1 - x}\)！

蒟蒻：喂，大连市第七人民医院嘛？

大佬：……在\(x\in (-1, 1)\)的时候。

蒟蒻：你不早说！等等，为什么\(x\in (-1, 1)\)时就相等了？

大佬：等比数列求和公式啊，\(1 + x + x^2 + x^3...\)的前\(n\)项和等于\(\frac{1 - x^n}{1 - x}\)，这是个无限长的数列，\(n\)趋近于无穷的时候\(x^n\)趋近于0，这不就相等了嘛！

蒟蒻：啊，对啊！可是好好的一个函数，你凭空给限定了定义域，这还是原来那个函数嘛？

大佬：不是你说的生成函数中的\(x\)没有意义嘛！还有，你看\(1 + x^2 + x^4 + x^6...\)这个函数，它是不是等于\(\frac{1}{1-x^2}\)？

蒟蒻：对，把前一个式子中的\(x\)换成\(x^2\)不就好了嘛！可是\(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3...\)这个函数，它等于什么？

大佬：等于\(\frac{1}{(1 - x)^2}\)啊！你看，对等式\(\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3...\)两边分别求导，得到……算了，说了你也不懂，那你把两个\(1 + x + x^2 + x^3...\)乘起来不就好了嘛！

蒟蒻：蛤？我看看……的确诶！

大佬：我还知道\(1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + 15x^4...\)的生成函数是多少呢！是\(\frac{1}{(1-x)^3}\)！推广开来，\(\frac{1}{(1 - x)^k}\)生成的数列是\(\sum_i^\infty C_{i + k - 1}^{k - 1} x^i\)！

蒟蒻：为什么啊？

大佬：你看\(\frac{1}{(1 - x)^k}\)就是\(k\)个\(\frac{1}{1 - x}\)相乘，就是\(k\)个\(1 + x + x^2 + x^3...\)相乘嘛。那么它的第\(i\)项系数就是从\(k\)个\(1 + x + x^2 + x^3...\)中每个选出一项，乘起来恰为\(x^i\)的方案数，就是\(i = x_1 + x_2 + ... + x_k\)的非负整数解的组数，你用组合数学中的所谓“隔板法”求一下，是不是\(C_{i + k - 1}^{k - 1}\)？

蒟蒻：有道理！

大佬：了解了\(\frac{1}{1-x^k}\)和\(\frac{1}{(1-x)^k}\)这两种特殊生成函数，就掌握了一类题的技巧——来做道题吧！Luogu P2000 欢迎你！

---

大佬：我还会用生成函数求斐波那契数列通项！

蒟蒻：这么牛逼？

大佬：首先啊，你看这个斐波那契数列的生成函数\(f(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + 8x^6...\)，然后把它乘个\(x\)，得\(x\cdot f(x) = x^2 + x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 5x^6 + 8x^7...\)，用前式减去后式，得到\(f(x) - x \cdot f(x) = x + x ^ 3 + x^4 + 2x^5 + 3x^6 + 5x^7... = x + x^2 \cdot f(x)\)，所以\(f(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}\)！

蒟蒻：可是这不是我们之前见过的那两种特殊生成函数，你怎么把它还原成数列呢？

大佬：我打算把它变成等比数列求和的形式！这个分母\(1-x-x^2\)是可以因式分解的，分解后就是\((1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)\)，所以$$\frac{x}{1 - x - x^2} = \frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)}$$，看着非常难受，裂项一下，得到$$ \frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)} = -\frac{1}{\sqrt5}\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)} + \frac{1}{\sqrt5}\frac{1}{(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)}$$这就成了两个等比数列求和公式乘个常数再相加的形式了！把两个等比数列还原成数列，得到$$fib_n = -\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n + \frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n$$这就是斐波那契数列通项公式了！

蒟蒻：哇！这么神奇！

大佬：据说这种方法可以应用到各种线性齐次递推中哦～