趣谈生成函数 =v=

趣谈生成函数 =v=

今天luyouqi在洛谷随机跳题rand出来一道生成函数板子题，然后我给做了（雾

发现小伙伴们还不会生成函数，于是我试着写这篇生成函数简介。（其实我也不怎么会生成函数这么高级的东西，本篇纯属道听途说，大家看着当故事娱乐一下就好）

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从前有一个无限长的随便一个数列$a = \{2, 1, 4, 7, 4\}$，有一天，一个大佬说：能不能用一个函数表示这个数列呢？于是大佬把$a$的每一项当做一个多项式的系数，得到了多项式函数$f(x) = 2 + x + 4x^2 + 7x^3 + 4x^4$，用来表示上面那个序列。大佬很开心。

大佬的朋友——蒟蒻感到疑惑：这个函数代入一个$x$，得到的东西有什么意义啊？

大佬思考了一会，说：也没什么意义。

蒟蒻说：那你研究它有个*儿用？

大佬又思考了一会，找到了它的一种用途。假如数列$a$代表一类物品，中$a_i$表示这类物品中选$i$件物品的方案数——例如$a = \{1, 1, 1\}$表示A类物品中可以选0件或1件或2件，但不能选大于2件；又例如无限长数列$b = \{1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1...\}$表示B类物品只能选3的倍数件。这时候，把$f(x) = 1 + x + x^2$和$g(x) = 1 + x^3 + x^6 + x^9 ...$乘起来，得到另一个函数$h(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...$。这个函数有什么意义呢？它的第$i$项的系数就是选A、B两种物品共$i$件的方案数。

蒟蒻说：这有啥，不就是把两个多项式乘起来么？和$O(n^2)$一个个枚举有什么区别？

大佬说：嗯……你可以FFT……

蒟蒻：哦。没有这个函数我也知道可以FFT。

大佬不认为这个“用函数表示数列”的东西很没用，他决定继续研究，还给它取了个名字叫做数列的“生成函数”，表示用这个函数能生成（表示）一个数列。

有一天，大佬告诉蒟蒻他发现了一个规律——$a = \{1, 1, 1, 1, 1...\}$的生成函数是$f(x) = \frac{1}{1 - x}$

蒟蒻说：老哥，您不会是研究数学研究傻了吧？它的生成函数不是$1 + x + x^2 + x^3...$嘛？怎么会等于您这个$\frac{1}{1 - x}$呢？

大佬说：对啊！$1 + x + x^2 + x^3...$就等于$\frac{1}{1 - x}$！

蒟蒻：喂，大连市第七人民医院嘛？

大佬：……在$x\in (-1, 1)$的时候。

蒟蒻：你不早说！等等，为什么$x\in (-1, 1)$时就相等了？

大佬：等比数列求和公式啊，$1 + x + x^2 + x^3...$的前$n$项和等于$\frac{1 - x^n}{1 - x}$，这是个无限长的数列，$n$趋近于无穷的时候$x^n$趋近于0，这不就相等了嘛！

蒟蒻：啊，对啊！可是好好的一个函数，你凭空给限定了定义域，这还是原来那个函数嘛？

大佬：不是你说的生成函数中的$x$没有意义嘛！还有，你看$1 + x^2 + x^4 + x^6...$这个函数，它是不是等于$\frac{1}{1-x^2}$？

蒟蒻：对，把前一个式子中的$x$换成$x^2$不就好了嘛！可是$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3...$这个函数，它等于什么？

大佬：等于$\frac{1}{(1 - x)^2}$啊！你看，对等式$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3...$两边分别求导，得到……算了，说了你也不懂，那你把两个$1 + x + x^2 + x^3...$乘起来不就好了嘛！

蒟蒻：蛤？我看看……的确诶！

大佬：我还知道$1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + 15x^4...$的生成函数是多少呢！是$\frac{1}{(1-x)^3}$！推广开来，$\frac{1}{(1 - x)^k}$生成的数列是$\sum_i^\infty C_{i + k - 1}^{k - 1} x^i$！

蒟蒻：为什么啊？

大佬：你看$\frac{1}{(1 - x)^k}$就是$k$个$\frac{1}{1 - x}$相乘，就是$k$个$1 + x + x^2 + x^3...$相乘嘛。那么它的第$i$项系数就是从$k$个$1 + x + x^2 + x^3...$中每个选出一项，乘起来恰为$x^i$的方案数，就是$i = x_1 + x_2 + ... + x_k$的非负整数解的组数，你用组合数学中的所谓“隔板法”求一下，是不是$C_{i + k - 1}^{k - 1}$？

蒟蒻：有道理！

大佬：了解了$\frac{1}{1-x^k}$和$\frac{1}{(1-x)^k}$这两种特殊生成函数，就掌握了一类题的技巧——来做道题吧！Luogu P2000 欢迎你！

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大佬：我还会用生成函数求斐波那契数列通项！

蒟蒻：这么牛逼？

大佬：首先啊，你看这个斐波那契数列的生成函数$f(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + 8x^6...$，然后把它乘个$x$，得$x\cdot f(x) = x^2 + x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 5x^6 + 8x^7...$，用前式减去后式，得到$f(x) - x \cdot f(x) = x + x ^ 3 + x^4 + 2x^5 + 3x^6 + 5x^7... = x + x^2 \cdot f(x)$，所以$f(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}$！

蒟蒻：可是这不是我们之前见过的那两种特殊生成函数，你怎么把它还原成数列呢？

大佬：我打算把它变成等比数列求和的形式！这个分母$1-x-x^2$是可以因式分解的，分解后就是$(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)$，所以 $$\frac{x}{1 - x - x^2} = \frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)}$$ ，看着非常难受，裂项一下，得到 $$\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)} = -\frac{1}{\sqrt5}\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)} + \frac{1}{\sqrt5}\frac{1}{(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)}$$ 这就成了两个等比数列求和公式乘个常数再相加的形式了！把两个等比数列还原成数列，得到 $$fib_n = -\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n + \frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n$$ 这就是斐波那契数列通项公式了！

蒟蒻：哇！这么神奇！

大佬：据说这种方法可以应用到各种线性齐次递推中哦～