51nod 1522 上下序列

题目描述

现在有1到n的整数，每一种有两个。要求把他们排在一排，排成一个2*n长度的序列，排列的要求是从左到右看，先是不降，然后是不升。

特别的，也可以只由不降序列，或者不升序列构成。

例如，下面这些序列都是合法的：

· [1,2,2,3,4,4,3,1];

· [1,1];

· [2,2,1,1];

· [1,2,3,3,2,1].

除了以上的条件以外，还有一些其它的条件，形如"h[xi] signi h[yi]"，这儿h[t]表示第t个位置的数字，signi是下列符号之一：'=' (相等), '<' (小于), '>' (大于), '<=' (小于等于), '>=' (大于等于)。这样的条件有k个。

请计算一下有多少种序列满足条件。

Input

单组测试数据。
第一行有两个整数 n 和k (1≤n≤35, 0≤k≤100)，表示数字的种类和限制条件的数目。
接下来k行，每一行的输入格式是这样的："xi signi yi" (1≤xi,yi≤2*n)，signi是上面五种符号中的一种。

Output

输出一个整数，表示有多少种序列满足条件。

Input示例

样例输入1
3 0
样例输入2
3 1
2 > 3

Output示例

样例输出1
9
样例输出2
1

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题解

看了之后好懵逼啊……看了网上的题解，稍微理解了。

这道题主要的思路是区间DP。每次把两个相同的数字填进已有的序列[l, r]中。

但是由于题目中有这些限制，显然不能瞎填对吧……那么怎么判断能不能这样填呢？

方便起见，从大到小、从中间到两边填（因为原题要求中间比两边大）。
既然后填的、两边的数一定比先填的、中间的数小，那么只需判断当前要填的位置是否有“大于、大于等于、或等于已经填的区间内的元素”的限制就好了。另外，当前填的两个元素中，不能有“一个大于另一个”的限制。

具体来说，如果用dp[i][j]表示填满区间[i, j]的方案数，check(a, b, l, r) == 1 表示a、b不会“大于、大于等于、或等于[l, r]内的元素”且没有"a>b“或”b>a"的限制。
那么：
若都填到左边：if(check(i, i + 1, i + 2, j)) dp[i][j] += dp[i + 2][j]
若都填到右边：if(check(j - 1, j, i, j - 2)) dp[i][j] += dp[i][j - 2]
若两边各填一个: if(check(i, j, i + 1, j - 1)) dp[i][j] += dp[i + 1][j - 1]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
template <class T>
bool read(T &x){
    char c;
    bool minus = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
    if(c == '-') minus = 1;
    else if(c == EOF) return 0;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
    x = x * 10 + c - '0';
    if(minus) x = -x;
    return 1;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 80, K = 105;
int n, k;
int lar[N][K], leq[N][K], equ[N][K];
ll dp[N][N];

void init(){
    read(n), read(k);
    int a, b;
    char sig[2];
    while(k--){
	sig[0] = sig[1] = 0;
	read(a), scanf("%s", sig), read(b);
	if(sig[0] == '=') equ[a][++equ[a][0]] = b, equ[b][++equ[b][0]] = a;
	else{
	    if(sig[0] == '<') swap(a, b);
	    if(sig[1] == '=') leq[a][++leq[a][0]] = b;
	    else lar[a][++lar[a][0]] = b;
	}
    }
}
bool single_check(int a, int b, int l, int r){
    for(int i = 1; i <= lar[a][0]; i++)
	if((lar[a][i] <= r && lar[a][i] >= l) || lar[a][i] == b)
	    return 0;
    for(int i = 1; i <= leq[a][0]; i++)
	if(leq[a][i] <= r && leq[a][i] >= l)
	    return 0;
    for(int i = 1; i <= equ[a][0]; i++)
	if(equ[a][i] <= r && equ[a][i] >= l)
	    return 0;
    return 1;
}
bool check(int a, int b, int l, int r){
    return single_check(a, b, l, r) && single_check(b, a, l, r);
}

int main(){
    init();
    for(int i = 1; i < 2 * n; i++) if(check(i, i + 1, 0, 0)) dp[i][i + 1] = 1;
    for(int len = 2; len <= 2 * n; len += 2)
	for(int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; i++){
	    int j = i + len - 1;
	    if(check(i, j, i + 1, j - 1)) dp[i][j] += dp[i + 1][j - 1];
	    if(check(i, i + 1, i + 2, j)) dp[i][j] += dp[i + 2][j];
	    if(check(j - 1, j, i, j - 2)) dp[i][j] += dp[i][j - 2];
	}
    write(dp[1][2 * n]), enter;
    return 0;
}