中国剩余定理

合集 - 数学(3)

1.欧拉函数与欧拉定理2024-06-292.exgcd2024-07-20

3.中国剩余定理2024-07-23

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中国剩余定理

定义

中国剩余定理可求解如下形式的一元线性同余方程组

$\{\begin{array}{rl}& x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ & x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ & ...\\ & x\equiv a_k(mod{m}_k)\end{array}$

其中对于任意$i\ne j$，都有$gcd(m_i,m_j)=1$。

流程

1. 计算$m=\prod _{i=1}^k{m}_i$
2. 对于第$i$个方程
   • 计算$M_i=\frac{m}{m_i}$
   • 计算$M_i$在模$m_i$意义下的逆元$\frac{1}{M_i}$
   • 计算$c_i=M_i\times \frac{1}{M_i}$（不要对$m_i$取模）
3. 方程在模$n$意义下的唯一解为$x=\sum _{i=1}^k{a}_i{c}_i(modn)$

证明

下面证明上述算法所得到的$x$是同余方程组的解：

当$i\ne j$是，有 $M_j\equiv 0(mod{m}_i)$ ，所以有 $c_j\equiv M_j\equiv 0(mod{m}_i)$。

又有$c_i\equiv M_i\times (\frac{1}{M_i}mod{m}_i)\equiv 1(mod{m}_i)$，所以我们有：

$$x\equiv \sum _{j=1}^k{a}_j{c}_j(mod{m}_i)$$

$$\equiv a_i{c}_i(mod{m}_i)$$

$$\equiv a_i{M}_i\times (\frac{1}{M_i}mod{m}_i)(mod{m}_i)$$

$$\equiv a_i$$

所以对于任意的$x\equiv a_i$，上述算法所得到的$x$总是满足条件。

扩展中国剩余定理

设两个方程分别是是$x\equiv a_1(mod{m}_1),x\equiv a_2(mod{m}_2)$。

将它们转化为二元不定方程，即$x=m_{1}p+a_1=m_{2}q+a_2$，其中$p,q$是整数，则有$m_{1}p-m_{2}q=a_2-a_1$。

由裴蜀定理，得如果$a_2-a_1$不能被$gcd(m_1,m_2)$整除，则无解。

其他情况下，可以使用$exgcd$求出一组可行的解$p_0,q_0$，然后得到$p$的通解为$p_0+\frac{m_2}{gcd(m1,m2)}\times t$，其中t是整数。

于是$x=m_{1}p+a_1=\frac{m_1{m}_2}{gcd(m1,m2)}\times t+a_1$。

因为$\frac{m_1{m}_2}{gcd(m1,m2)}=lcm(m1,m2)$，于是我们可以得到一个同余方程：

$$x\equiv m_{1}p+a_1(modlcm(m_1,m_2))$$

于是我们就可以对整个方程组进行求解。

代码

for(int i=2;i<=n;i++){
	int A=m[i-1],B=m[i],c=a[i]-a[i-1];
	c=(c%A+A)%A;
	int d=exgcd(m[i-1],m[i],x,y);
	x*=(c/d);	
	x=(x%(-B/d)+(-B/d))%(-B/d);
	a[i]=A*x+a[i-1];
	m[i]=A/d*B;
	a[i]=(a[i]%m[i]+m[i]%m[i]);
}
write((a[n]%m[n]+m[n])%m[n]);