exgcd

合集 - 数学(3)

1.欧拉函数与欧拉定理2024-06-29

2.exgcd2024-07-20

3.中国剩余定理2024-07-23

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裴蜀定理

对于任意整数$a,b$都存在整数$x,y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$

扩展欧几里得算法（exgcd)

设整数$a,b,x,y$满足$ax+by=gcd(a,b)$

若$b=0$，则$x=1$，$y$取任意整数

若$b>0$

$$ax+by=gcd(a,b)$$

$$=gcd(b,amodb)$$

$$=b{x}_0+(amodb)y_0$$

$$=b{x}_0+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y_0$$

$$=a{y}_0+b(x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0)$$

所以$x=y_0,y=x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0$

于是可以仿照辗转相除法，进行递归求解

代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y),z=x;
	x=y,y=z-a/b*y;
	return d;
}

二元一次不定方程

求不定方程$ax+by=c$的解，其中$a,b,c$是正整数

当$cmodgcd(a,b)\ne 0$时，方程无整数解

当$cmodgcd(a,b)=0$时，我们可以先求出$ax+by=gcd(a,b)$的一组解$x_0,y_0$

令$d=gcd(a,b)$

方程两边同时乘上$\frac{c}{d}$，就能得到原方程，所以我们可以得到原方程的一组特解为$x_1=\frac{x_{0}c}{d},y_1=\frac{y_{0}c}{d}$

对于任意$k\in \mathbb{Q}$ ，显然有$a(x+kb)+b(y-ka)=c$

于是我们可以得到方程的通解为

$$x=x_1+kb$$

$$y=y_1+ka$$

以为我们需要保证$x,y$是整数，即保证$ka,kb$是整数，所以$k$的最小值为$\frac{1}{d}$

又因为$ka,kb$显然是$\frac{a}{d},\frac{b}{d}$的倍数，所以设$s\in \mathbb{Z}$，方程的通解为

$$x=x_1+\frac{sb}{d}$$

$$y=y_1-\frac{sa}{d}$$

同余方程

给定形如$ax\equiv b(modm)$的方程，求方程的解

将原同余方程变为二元一次方程

$ax+ym=b$

按照上面二元一次不定方程的解法，即可得到同余方程的解