欧拉函数与欧拉定理

互质

\(\forall a,b \in \mathbb{N}\)，若\(\operatorname{gcd}(a,b) = 1\) ，则称\(a\)与\(b\)互质

欧拉函数

\(1 \sim N\)中与\(N\)互质的数的个数被称作欧拉函数，记为\(\varphi(N)\)。

若在算数基本定理中，\(N = \prod_{i=1}^{m} {p_i^{c_i}}\)，则：

\[\varphi(N) = N \times \prod_{i=1}^{m} {\frac{p_i -1}{p_i}} = N \times \prod_{i=1}^{m} {(1-\frac{1}{p})} \]

设\(p,q\)是\(N\)是质因子，则\(1 \sim N\)中\(p,q\)的倍数分别为\(\frac{N}{p},\frac{N}{q}\)个，根据容斥原理，\(N\)中同时是\(p,q\)倍数的个数为：

\[N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q}) \]

以此类推，得到欧拉函数的计算公式。

单个数字的欧拉函数值的计算代码：

int phi(int x){
	int res=x;
	for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
		if(x%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1){
		res=res/x*(x-1);
	}
	return res;
}

积性函数

如果当\(a,b\)互质时，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，那么称\(f\)为积性函数

欧拉函数性质

1. \(\forall n >1,1 \sim n\)中与\(n\)互质的数的和为\(\frac{n * \varphi(n)}{2}\)

   因为\(\operatorname{gcd}(n,x) = \operatorname{gcd}(n,n-x)\)，所以与\(n\)不互质的数\(x,n-x\)成对出现，平均值为\(n/2\)，因此得到与\(n\)互质的数的平均值为\(n/2\)，进而得到性质1。

2. 若\(a,b\)互质，有\(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\)

   因为\(a,b\)互质，所以\(a,b\)没有相同的质因数，对\(a,b\)分解质因数，把\(\varphi(a),\varphi(b)\)展开相乘即可得到\(\varphi(ab)\)。

3. 若\(f\)为积性函数，且\(n=\prod_{i=1}^{m} {p_i^{c_i}}\)，那么\(f(n)= \prod_{i=1}^{m} {f(p_i^{c_i})}\)

   根据积性函数的定义，显然有性质3。

4. 设\(p\)是质数，若\(p \mid n\)且\(p^2 \mid n\)，则\(\varphi(n)=\varphi(n/p)\times p\)

   由\(p \mid n , p^2 \mid n\)，可得\(n,n/p\)有相同的质因子且只有\(p\)的质数不同，把二者展开之后发现\(\frac{\varphi(n)}{\varphi(n/p)} = p\)，所以性质4成立。

5. 设\(p\)是质数，若\(p \mid n\)且\(p^2 \nmid n\)，则\(\varphi(n)=\varphi(n/p)\times (p-1)\)

   由\(p \mid n\)且\(p^2 \nmid n\)，得\(p\)和\(n/p\)互质，由性质2得\(\varphi(n) = \varphi(n/p) \times \varphi(p)\)，又由\(p\)是质数得\(\varphi(p)=p-1\)，所以性质5成立。

6. \(\sum_{d \mid n} {\varphi(d)} =n\)

   令\(f(x)= \sum_{d \mid x} {\varphi(d)}\),若\(x,y\)互质，那么对于\(xy\)的每个约数\(z\)，都有唯一的\(a,b\)，使得\(a \mid x, b \mid y ,ab=z\)，所以，\(f(x)f(y)=(\sum_{d \mid x} {\varphi(d)}) \times(\sum_{d \mid y} {\varphi(d)})=\sum_{d \mid xy} {\varphi(d)}=f(xy)\)，所以\(f(x)\)是一个积性函数。由性质3得，\(f(n)=\prod_{i=1}^{m} {f(p_i^{c_i})}=\prod_{i=1}^{m} {\sum_{j=0}^{c_i}{\varphi(p_i^{j})}}\)，因为\(\sum_{j=1}^{c_i}{\varphi(p_i^{j})}\)是一个等比数列求和再加\(1\)，所以\(\sum_{j=1}^{c_i}{\varphi(p_i^{j})} = 1+\frac{(p-1)p^{c_i}-(p-1)}{p-1} = p_{c_i}\)，带入\(f(n)\)，得\(f(n)=\prod_{i=1}^{m} {f(p_i^{c_i})}=\prod_{i=1}^{m} {p_i^{c_i}}=n\)，所以性质6成立。

线性筛求欧拉函数

由性质4和性质5得

• 若\(p \mid n\)且\(p^2 \mid n\)，则\(\varphi(n)=\varphi(n/p)\times p\)

• 若\(p \mid n\)且\(p^2 \nmid n\)，则\(\varphi(n)=\varphi(n/p)\times (p-1)\)

在线性筛中，每个合数数会被其最小的质因子所标记，所以我们可以利用这一性质进行递推，从\(\varphi(n/p)\)推到\(\varphi(n)\)。

void euler(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=maxn;i++){
		if(!fl[i]){
			cnt++,pr[cnt]=i;
			v[i]=i,phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]<=maxn/i;j++){
			if(pr[j]>v[i])break;
			fl[pr[j]*i]=true;
			v[pr[j]*i]=pr[j];
			phi[pr[j]*i]=phi[i]*(i%pr[j]==0?pr[j]:pr[j]-1);
		}
	}
	return;
}

费马小定理

若\(p\)是质数，那么有：

\[a^{p-1} \equiv a \ (mod \ p) \]

欧拉定理

若\(a,m\)互质，那么有：

\[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \ (mod \ m) \]

扩展欧拉定理

\( a^b = \left\{ \begin{aligned} & a^b \ \ b<m\\ & a^{b\ mod \ \varphi(m)} \ \ gcd(a,m)=1\\ & a^{b\ mod \ \varphi(m)+\varphi(m)} \ gcd(a,m) \ne 1 \end{aligned} \ (mod \ m) \right. \)