欧拉函数与欧拉定理

合集 - 数学(3)

1.欧拉函数与欧拉定理2024-06-29

2.exgcd2024-07-203.中国剩余定理2024-07-23

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互质

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$，若$\gcd (a,b)=1$ ，则称$a$与$b$互质

欧拉函数

$1\sim N$中与$N$互质的数的个数被称作欧拉函数，记为$\phi (N)$。

若在算数基本定理中，$N=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}$，则：

$$\phi (N)=N\times \prod _{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}=N\times \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p})$$

设$p,q$是$N$是质因子，则$1\sim N$中$p,q$的倍数分别为$\frac{N}{p},\frac{N}{q}$个，根据容斥原理，$N$中同时是$p,q$倍数的个数为：

$$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})$$

以此类推，得到欧拉函数的计算公式。

单个数字的欧拉函数值的计算代码：

int phi(int x){
	int res=x;
	for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
		if(x%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1){
		res=res/x*(x-1);
	}
	return res;
}

积性函数

如果当$a,b$互质时，$f(ab)=f(a)f(b)$，那么称$f$为积性函数

欧拉函数性质

1. $\mathrm{\forall }n>1,1\sim n$中与$n$互质的数的和为$\frac{n\ast \phi (n)}{2}$

   因为$\gcd (n,x)=\gcd (n,n-x)$，所以与$n$不互质的数$x,n-x$成对出现，平均值为$n/2$，因此得到与$n$互质的数的平均值为$n/2$，进而得到性质1。

2. 若$a,b$互质，有$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$

   因为$a,b$互质，所以$a,b$没有相同的质因数，对$a,b$分解质因数，把$\phi (a),\phi (b)$展开相乘即可得到$\phi (ab)$。

3. 若$f$为积性函数，且$n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}$，那么$f(n)=\prod _{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})$

   根据积性函数的定义，显然有性质3。

4. 设$p$是质数，若$p\mid n$且$p^2\mid n$，则$\phi (n)=\phi (n/p)\times p$

   由$p\mid n,p^2\mid n$，可得$n,n/p$有相同的质因子且只有$p$的质数不同，把二者展开之后发现$\frac{\phi (n)}{\phi (n/p)}=p$，所以性质4成立。

5. 设$p$是质数，若$p\mid n$且$p^2\nmid n$，则$\phi (n)=\phi (n/p)\times (p-1)$

   由$p\mid n$且$p^2\nmid n$，得$p$和$n/p$互质，由性质2得$\phi (n)=\phi (n/p)\times \phi (p)$，又由$p$是质数得$\phi (p)=p-1$，所以性质5成立。

6. $\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$

   令$f(x)=\sum _{d\mid x}\phi (d)$,若$x,y$互质，那么对于$xy$的每个约数$z$，都有唯一的$a,b$，使得$a\mid x,b\mid y,ab=z$，所以，$f(x)f(y)=(\sum _{d\mid x}\phi (d))\times (\sum _{d\mid y}\phi (d))=\sum _{d\mid xy}\phi (d)=f(xy)$，所以$f(x)$是一个积性函数。由性质3得，$f(n)=\prod _{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})=\prod _{i=1}^m\sum _{j=0}^{c_i}\phi (p_i^j)$，因为$\sum _{j=1}^{c_i}\phi (p_i^j)$是一个等比数列求和再加$1$，所以$\sum _{j=1}^{c_i}\phi (p_i^j)=1+\frac{(p-1)p^{c_i}-(p-1)}{p-1}=p_{c_i}$，带入$f(n)$，得$f(n)=\prod _{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})=\prod _{i=1}^m{p}_i^{c_i}=n$，所以性质6成立。

线性筛求欧拉函数

由性质4和性质5得

• 若$p\mid n$且$p^2\mid n$，则$\phi (n)=\phi (n/p)\times p$

• 若$p\mid n$且$p^2\nmid n$，则$\phi (n)=\phi (n/p)\times (p-1)$

在线性筛中，每个合数数会被其最小的质因子所标记，所以我们可以利用这一性质进行递推，从$\phi (n/p)$推到$\phi (n)$。

void euler(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=maxn;i++){
		if(!fl[i]){
			cnt++,pr[cnt]=i;
			v[i]=i,phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]<=maxn/i;j++){
			if(pr[j]>v[i])break;
			fl[pr[j]*i]=true;
			v[pr[j]*i]=pr[j];
			phi[pr[j]*i]=phi[i]*(i%pr[j]==0?pr[j]:pr[j]-1);
		}
	}
	return;
}

费马小定理

若$p$是质数，那么有：

$$a^{p-1}\equiv a(modp)$$

欧拉定理

若$a,m$互质，那么有：

$$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$$

扩展欧拉定理

$a^b=\{\begin{array}{rl}& a^{b}b<m\\ & a^{bmod\phi (m)}gcd(a,m)=1\\ & a^{bmod\phi (m)+\phi (m)}gcd(a,m)\ne 1\end{array}(modm)$