群论学习笔记

大量参考了 xyx 神仙的博文，在此献上真挚的谢意。

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\(\text{Burnside}\) 引理：

\(S\) 是一个有限集合，\(G\) 是一个作用在 \(S\) 上的置换群。

\(S/G\) 表示一个组合类，其中元素是 \(S\) 在 \(G\) 作用下的等价类。\(x/G\) 表示 \(S\) 中元素 \(x\) 在 \(G\) 作用下所属的等价类。

\[|S/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \sum_{x \in S} [g(x) = x] \]

证明：

\[\forall f,g \in G ,f(x) = g(x) \leftrightarrow (f^{-1} \circ g)(x) = x \]

显然吧？

接下来尝试证明

\[\forall x\in S,(\sum_{g \in G}[g(x)=x]) \cdot |x/G| = |G| \]

挺显然的

考虑所有与置换 \(f\) 等价的置换 \(g\) ，即满足 \(f(x) = g(x)\) 的所有 \(g\) 。

每个 \(g\) 对应一个置换 \(\alpha=f^{-1} \circ g\) ，其满足 \(\alpha(x)=x\)，那么 \(g\) 的数量就是 \(\sum_{\alpha \in G}[\alpha(x)=x]\)

也就是说，对于任意置换 \(f\) ，与其等价的置换数为 \(\sum_{\alpha \in G} [\alpha(x)=x]\) 。

而不等价的置换数为 \(|x/G|\) 。二者相乘得到总置换数 \(|G|\) 。

现在来考虑证明 \(\text{Burnside}\) 引理：

尝试对满足 \(f(x)=x\) 的 \((f,x)\) 计数，可以得到

\[\sum_{f \in G} \sum_{x \in S} [f(x)=x] = \sum_{x \in S} \sum_{f \in G} [f(x)=x]=\sum_{x \in S} \frac{|G|}{|x/G|} \]

\[\frac{1}{|G|}\sum_{f \in G} \sum_{x \in S}[f(x)=x] = \sum_{x \in S} \frac{1}{|x/G|} \]

我艹 右式中一个等价类的贡献为 \(1\) 。

\[|S/G|=\frac{1}{|G|} \sum_{f\in G}\sum_{x \in S} [f(x) = x] \]

于是我们得到了 \(\text{Burnside}\) 引理。

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\(\text{Polya}\) 定理：

\(B\) 是一个组合类，\(S\) 是一个有限集合，上面有一个置换群 \(G\) 。

\(B^S\) 表示所有 $ S\to B$ 的映射，称这种映射为染色。

\(B\) 中元素 \(\beta\) 的权值为 \(w(\beta)\) ，一个染色 \(\phi\) 的权值等于 \(\prod_{x\in S}\limits w(\phi(x))\)

\(f_t(g)\) 表示置换 \(g\) 中长度为 \(t\) 的循环个数。

\[\sum_{\phi \in (B^S/G)} w(\phi) = Z(G;\sum_{\beta \in B} w(\beta),\cdots , \sum_{\beta \in B} w^{|S|}(\beta)) \]

\[Z(G;x_1,x_2,\cdots,x_{|S|}) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} x_1^{f_1(g)} \cdot x_2^{f_2(g)} \cdots x_{|S|}^{f_{|S|}(g)} \]

不会证。

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取 \(w(\beta) = 1\) 可以得到市面上流行的款式：

\[|B^S/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |B|^{\sum f(g)} \]

不用证。

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取 \(G\) 为任意置换的集合 \(R\) 可以得到这么一个大可爱：

\[\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{\phi \in (B^{[1..i]}/R_i)} w(\phi) = \exp(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sum_{\beta \in B} w^i(\beta)}{i}) \]

不会证。

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