关于IIR滤波器的一点思考

关于IIR滤波器的一点思考

$$H(z) = \frac{a0+a1*z^{-1}+a2*z^{-2}}{1+b1*z^{-1}+b2*z^{-2}}$$

• 一直有一个自然有一个想法是使用deep Learning在非凸问题上的优化方法，表示一个IIR滤波器，从而达到对于IIR系数的估计
• 一个理想的情况，我们往往希望滤波器幅频特性符合要求的同时，满足相位线性性
• 如果能实现IIR的校准去估计，可以用低阶的IIR去近似很长的FIR滤波器，可以提高效率
• 使用 Padé_approximant直接逼近多项式是一个方法，但是它们没有很好的处理到相位
• 这里讨论了一些IIR近似FIR的问题Convert a FIR to an equivalent IIR
• 一些估计方法目标着眼于设计的特定形式iir组合，然后由DL估计滤波器参数，比如：
• Deep Optimization of Parametric IIR Filters for
  Audio Equalization
• Direct design of biquad filter cascades with deep
  learning by sampling random polynomials
• IIR滤波器可以用 RNN 表达，类似：

$$y(n) + b1*y(n-1) + b2*y(n-2) \\ = a0*x(n) + a1*x(n-1) + a2*x(n-2)$$

• 找到一个相关的工作DIFFERENTIABLE IIR FILTERS FOR MACHINE LEARNING APPLICATIONS
• 如果从$H(z)$这个式子的角度考虑，滤波时分子和信号直接卷积，而分子需要做多项式展开，得到一个无限长的多项式，仔细分析分析这个多项式。
• 首先我们可以将分母拆分成多个极点乘积的形式，我们要求系统稳定，因此要求极点落在单位圆内，我们来集火一下单个极点

$$H'(z) = \frac{1}{a-z^{-1}}$$

那么展开后

$$H'(z) = \frac{z^{-0}}{a^0} + \frac{z^{-1}}{a^1} + \frac{z^{-2}}{a^2} + ...$$

• 当$|a|<1$时，随着阶数的提高，它的模值会快速衰减下去，最终收敛到0处，所以他对于很久之前的输入不敏感
• 当$|a|=1$时，即位于单位圆上，可以表示成$a=e^{2 \pi f j}$，这类极点会周期性的变化，这种类型的极点就与时间长短无关，一直产生影响
• 所以$|a|$越大的项越会产生远距离的影响
• 如果我们试图用一个FIR滤波器逼近IIR，那么$|a|$越大，可能会导致滤波器越长

看了一些资料，发现是一个深坑啊