多项式相关操作学习笔记

标签：多项式

说在前边

记录一下相关的多项式操作，顺便存个模板。（多点求值之后的部分，有点写不动了。。。留坑留坑

多项式

定义

给定一个环$R$($R$通常是交换环，可以是有理数、实数或者复数等等)以及一个未知数$X$，则任何形同：$$a_0 + a_1X + ... +a_{n-1}X^{n-1} + a_nX^n$$的代数表达式叫做$R$上的一元多项式。其中$a_0,a_1,... ,a_n$是$R$中的元素。未知数不代表任何值，但环 $R$上的所有运算都对它适用。在不至于混淆的情形下，一般将一元多项式简称为多项式。可以证明，两个多项式的和、差与积仍然是多项式，即多项式组成一个环 $R[X]$，称为$R$上的（一元）多项式环。—— From Wiki

多项式乘法

计算两个多项式相乘时，首先使用乘法对加法的分配律将各项拆出，然后运用乘法结合律整合每一项，最后和加法一样整合同类项，就能得到乘积多项式，形式化的说：

\[P = a_0 + a_1X + ... +a_{n-1}X^{n-1} + a_nX^n \\ Q = b_0 + b_1X + ... +b_{n-1}X^{n-1} + b_nX^m \\ PQ = \sum_{i+j=0}a_ib_j +\sum_{i+j=1}a_ib_jX + ... + \sum_{i+j=n+m}a_ib_jX^{n+m} \]

离散傅里叶变换（DFT）

定义

对于$N$点序列$x[n]$，它的$DFT$为:

\[X[k] = \sum_{n = 0}^{N-1}e^{-i\frac{2\pi}{N}nk}x[n] ~~k = 0,1,...,N-1\]

离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为:

\[x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}e^{i\frac{2\pi}{N}nk}X[k]~~n = 0,1,...,N-1 \]

DFT与圆周卷积

圆周移位
若$f(n) = x((n+m))_NR_N(n)$，成$f(n)$为$x(n)$的$m$点圆周移位序列。
步骤：1）将x(n)以N为周期进行周期延拓；2）移位m点；3）取主值序列
若$x(n), y(n)$进行DFT，$x(n) \leftrightarrow X(k), y(n) \leftrightarrow Y(k)$ 则

\[F(k) = X(k)Y(k) \leftrightarrow f(n) = \sum_{m=0}^{N-1}x(m)y((n-m))_NR_N(n) \]

有限长序列的圆周卷积与线性卷积

$x(n)$:$M$点序列，$y(n)$:$N$点序列

线性卷积：$$x(n)*y(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)y(n-m)$$

可知$f(n)$的非$0$区间为$[0,M+N-2]$

圆周卷积是线性卷积以$L$为周期延拓后，取$[0,L-1]$间的主值序列。
当 $L \geq N+M-1$ 时，圆周卷积等价于线性卷积

DSP角度的解释

从DTFT到DFS，从DFS到DFT，从DFT到FFT，从一维到二维

一些变换

快速傅里叶变换（FFT）

很久之前参考算导写的FFT学习笔记

快速哈特莱变换（FHT）

FHT是一种实序列变换

快速数论变换（NTT）

NTT是在整数域进行的，FFT中通过n次单位福根运算，即满足$W^n = 1$的$W$，而NTT，将$g^{\frac{P-1}{N}}(mod~P)$ 看作与 $e^{-\frac{2\pi i}{N}}$ 等价，这里$g$是模素数$P$的原根。综上，数论变换的公式如下：

\[X_k ≡ \sum_{n=0}^{N-1}x_ng^{nk}(mod~P)~~~ k = 0, 1, ...,N-1 \]

逆变换为：

\[x_n ≡ \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_kg^{-nk}(mod~P)~~~ n = 0, 1, ...,N-1 \]

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
constexpr int N = 1 << 18 | 5; 
constexpr int Mod = 998244353;
constexpr int  G = 3;
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    for(; b; a = (a * a) % Mod, b >>= 1)
        if(b & 1) ans = (ans * a) % Mod;
    return ans;
}
int siz, rev[N];
ll w[N];
inline void init(int n) {
    for(siz = 1; siz < n; siz <<= 1);
    for(int i = 0; i < siz; ++i)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (siz >> 1));
    ll pr = qpow(G, (Mod-1) / siz);
    w[siz / 2] = 1;
    for(int i = 1; i < siz / 2; ++i) w[siz/2+i] = (w[siz/2+i-1]*pr) % Mod;
    for(int i = siz / 2 - 1; i >= 0; --i) w[i] = w[i << 1];
}
inline void DFT(ll A[], int L) {
    static ll t[N];
    int shift = __builtin_ctz(siz) - __builtin_ctz(L);
    for(int i = 0; i != L; ++i) t[rev[i] >> shift] = A[i];
    for(int d = 1; d != L; d <<= 1)
        for(int i = 0; i != L; i += d << 1)
            for(int j = 0; j != d; ++j) {
                ll tmp = t[i + d + j] * w[d + j] % Mod;
                t[i + d + j] = t[i + j] - tmp;
                t[i + j] = t[i + j] + tmp;
                if(t[i + d + j] < 0) t[i + d + j] += Mod;
                if(t[i + j] >= Mod) t[i + j] -= Mod;
            }
    for(int i = 0; i != L; ++i) A[i] = t[i] % Mod;
}
inline void IDFT(ll A[], int L) {
    std::reverse(A + 1, A + L);
    DFT(A, L);
    ll Inv_L = qpow(L, Mod - 2);
    for(int i = 0; i != L; ++i) (A[i] *= Inv_L) %= Mod;
}
int n, m, L;
ll a[N], b[N];
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 0; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(int i = 0; i <= m; ++i) scanf("%lld", &b[i]);
    for(L = 1; L <= m+n; L <<= 1);  init(L);
    DFT(a, L); DFT(b, L);
    for(int i = 0; i <= L; ++i) a[i] = a[i] * b[i] % Mod;
    IDFT(a, L);
    for(int i = 0; i <= n+m; ++i) printf("%lld ",a[i]); puts("");
    return 0;
}

任意模数FFT

题意：给两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$以及一个模数$p(p \leq 10^9)$, 求$f * g (mod ~ p)$

做法：任意模数NTT，最大的数为$p^2 max(n,m) \leq 10^{23}$, 所以一般选三个模数即可，求出这三个模数下的答案，然后中国剩余定理。

设当前这一项的系数为$x$，三个模数分别为$A, B, C$, 那么：

\[x ≡ x_1 (mod ~ A) \\ x ≡ x_2 (mod ~ B) \\ x ≡ x_3 (mod ~ C) \]

先合并前两项：

\[x_1 + k_1A = x_2 + k_2B = x \\ x_1 + k_1A ≡ x_2 ~(mod ~ B) \\ k_1 ≡ ~\frac {x_2 - x_1} {A}~(mod ~B) \]

及求出$x ≡ x_1 + k_1A ~(mod ~AB)$，记作$x_4 = x_1 + k_1A$，

\[x_4 + k_4AB = x_3 + k_3C \\ x_4 + k_4AB ≡ x_3 ~(mod ~C) \\ k_4 ≡ \frac{x3 - x4}{AB} ~(mod ~C) \]

n那么$x ≡ x_4 + k_4AB ~(mod~ABC)$，因为$x < ABC$, 所以$x = x_4 + k_4AB$

Code[洛谷P4245]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
constexpr int N = 1 << 18 | 5;
constexpr ll Mod1 = 469762049;
constexpr ll Mod2 = 998244353;
constexpr ll Mod3 = 1004535809;
constexpr ll M = Mod1 * Mod2;
constexpr int  G = 3;
using namespace std;
inline ll Mul(ll a, ll b, ll Mod) {
    ll ans = 0; ((a %= Mod) += Mod)%= Mod;
    for(; b; a = (a + a) % Mod, b >>= 1)
        if(b & 1) ans = (ans + a) % Mod;
    return ans;
}
inline ll qpow(ll a, ll b, ll Mod) {
    ll ans = 1; ((a %= Mod) += Mod)%= Mod;
    for(; b; a = (a * a) % Mod, b >>= 1)
        if(b & 1) ans = (ans * a) % Mod;
    return ans;
}
int siz, rev[N];
ll w[4][N];
inline void init_w(int typ, ll Mod) {
    ll pr = qpow(G, (Mod-1) / siz, Mod);
    w[typ][siz / 2] = 1;
    for(int i = 1; i < siz / 2; ++i) w[typ][siz/2+i] = (w[typ][siz/2+i-1]*pr) % Mod;
    for(int i = siz / 2 - 1; i >= 0; --i) w[typ][i] = w[typ][i << 1];
}
inline void init(int n) {
    for(siz = 1; siz < n; siz <<= 1);
    for(int i = 0; i < siz; ++i)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (siz >> 1));
    init_w(1,Mod1); init_w(2,Mod2); init_w(3,Mod3);
}
inline void DFT(ll A[], int L, int typ, ll Mod) {
    static ll t[N];
    int shift = __builtin_ctz(siz) - __builtin_ctz(L);
    for(int i = 0; i != L; ++i) t[rev[i] >> shift] = A[i];
    for(int d = 1; d != L; d <<= 1)
        for(int i = 0; i != L; i += d << 1)
            for(int j = 0; j != d; ++j) {
                ll tmp = t[i + d + j] * w[typ][d + j] % Mod;
                t[i + d + j] = t[i + j] - tmp;
                t[i + j] = t[i + j] + tmp;
                if(t[i + d + j] < 0) t[i + d + j] += Mod;
                if(t[i + j] >= Mod) t[i + j] -= Mod;
            }
    for(int i = 0; i != L; ++i) A[i] = t[i] % Mod;
}
inline void IDFT(ll A[], int L, int typ, ll Mod) {
    std::reverse(A + 1, A + L);
    DFT(A, L, typ, Mod);
    ll Inv_L = qpow(L, Mod - 2, Mod);
    for(int i = 0; i != L; ++i) (A[i] *= Inv_L) %= Mod;
}

int n, m, L, P;
ll a[N], b[N], c[N], d[N], ans[3][N];

ll CRT(ll a1, ll a2, ll a3) {
    ll k1 = Mul((a2 - a1),qpow(Mod1, Mod2-2, Mod2), Mod2);
    ll a4 = a1 + k1*Mod1;
    ll k4 = Mul((a3 - a4) , qpow(M, Mod3-2, Mod3), Mod3);
    return (a4%P + Mul(k4 , M, P)) % P;
}

int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&P);
	for(int i = 0; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(int i = 0; i <= m; ++i) scanf("%lld", &b[i]);
    for(L = 1; L <= m+n; L <<= 1);  init(L);
    
    memcpy(c, a, sizeof(a)); memcpy(d, b, sizeof(a)); DFT(c, L, 1, Mod1); DFT(d, L, 1, Mod1);
    for(int i = 0; i <= L; ++i) ans[0][i] = c[i] * d[i] % Mod1;    
    memcpy(c, a, sizeof(a)); memcpy(d, b, sizeof(a)); DFT(c, L, 2, Mod2); DFT(d, L, 2, Mod2);
    for(int i = 0; i <= L; ++i) ans[1][i] = c[i] * d[i] % Mod2;
    memcpy(c, a, sizeof(a)); memcpy(d, b, sizeof(a)); DFT(c, L, 3, Mod3); DFT(d, L, 3, Mod3);
    for(int i = 0; i <= L; ++i) ans[2][i] = c[i] * d[i] % Mod3;
    IDFT(ans[0], L, 1, Mod1); IDFT(ans[1], L, 2, Mod2); IDFT(ans[2], L, 3, Mod3);
    
    for(int i = 0; i <= n+m; ++i) {
        printf("%lld ",CRT(ans[0][i], ans[1][i], ans[2][i]));
    }puts("");
    return 0;
}

多项式的各种操作

多项式逆元

题意：给定多项式$A(x)$，请求出一个多项式$B(x)$，满足$A(x)*B(x) ≡ 1 (mod~x^n)$

做法：

当$n = 1$时,$A(x) ≡ c (mod~x)$，这样$A^{-1}(x) ≡ c^{-1}(mod~x)$
$n > 1$时，设$B(x) ≡ A^{-1}(x)(mod~x)$，则有$$A(x)B(x) ≡ 1 (mod~x^n)$$
假设在 $mod~x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}$意义下，$A(x)$的逆元是$B(x)$并且我们已经求出，那么有$$A(x)B'(x) ≡ 1 （mod~x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$$
显然$$A(x)B(x) ≡ 1 （ mod~x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$$
相减可得$$B(x)-B'(x) ≡ 0 (mod~x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$$
两边平方得$$B^2(x) - 2B'(x)B(x) + B'^2(x) ≡ 0 (mod~x^n)$$
两边同乘$A(x)$，移项可得$$B(x) ≡ 2B'(x) - A(x)B'^2(x) (mod ~x^n)$$

再利用$FFT$加速运算即可。

Code[洛谷P4238]

int n, L;
ll a[N], b[N], tmp[N];
void PloyInv(ll A[], ll B[], int n) {
    if(n == 1) {
        B[0] = qpow(A[0], Mod - 2, Mod); return;
    }
    PloyInv(A, B, (n + 1) >> 1);
    int p = 1; while(p < n<<1) p <<= 1;
    copy(A, A+n, tmp); fill(tmp+n, tmp+p, 0);
    DFT(tmp, p); DFT(B, p);
    for(int i = 0; i != p; ++i) {
        B[i] = (2 - tmp[i] * B[i] % Mod) * B[i] % Mod;
        if(B[i] < 0) B[i] += Mod;
    }
    IDFT(B, p);
    fill(B + n, B + p, 0);
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(L = 2; L <= 2*n-2; L <<= 1); init(L);
    PloyInv(a, b, n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%lld ",b[i]); puts("");
    return 0;
}

多项式除法

题意：给定一$n$次多项式$A(x)$和一个$m(m \leq n)$次多项式$B(x)$，要求求出$D(x), R(x)$满足$$A(x) = D(x)B(x) + R(x)$$且$degD \leq degA - degB = n-m, ~degR < m$

做法：首先，想办法消除$R(x)$的影响。首先我定义一个运算

\[A^R(x)= x^n A( \frac{1}{x} ) \]

可以发现，这个操作在进行系数反转。

现在将原式的 $x$ 全部替换为 $\frac{1}{x}$ ，然后两边同乘$x^n$，可得

\[x^nA(\frac{1}{x}) = x^{n-m}D(\frac{1}{x})x^mB(\frac{1}{x}) + x^{n-m+1}x^{m-1}R(\frac{1}{x}) \\ A^R(x) = D^R(x)B^R(x) + x^{n-m+1}R^R(x) \]

观察这个式子，$D(x)$反转后，次数不会高于$n-m$，而$x^{n-m+1}R^R(x)$这个部分最低次高于$n-m$，把上式放到$mod ~x^{n-m+1}$意义下，$R(x)$就会被消除，现在式子变为$$A^R(x) ≡ D^{R}(x)BR(x) (mod ~x^{n-m+1})$$这样只需要求$B^R(x)$的逆元即可，$D(x)$可以通过回带$R(x)$求得。

void PloyDiv(ll A[], ll B[], ll D[], ll R[], int n, int m) {
    static ll A0[N], B0[N];
    int p = 1, t = n - m + 1;
    while(p < t<<1) p <<= 1;

    fill(A0, A0 + p, 0);
    reverse_copy(B, B+m, A0);
    PloyInv(A0, B0, t);
    fill(B0+t, B0+p, 0);
    DFT(B0, p);
    reverse_copy(A, A+n, A0);
    fill(A0 + t, A0 + p, 0);
    DFT(A0, p);
    for(int i = 0; i != p; ++i)
        A0[i] = Mul(A0[i] , B0[i]);
    IDFT(A0, p);
    reverse(A0, A0+t); copy(A0, A0+t,D);

    p = 1; while(p < n) p <<= 1;
    fill(A0 + t, A0 + p, 0);
    DFT(A0, p);
    copy(B, B+m, B0);
    fill(B0 + m, B0 + p, 0);
    DFT(B0, p);
    for(int i = 0; i != p; ++i) A0[i] = Mul(A0[i] , B0[i]);
    IDFT(A0, p);
    for(int i = 0; i != m; ++i) R[i] = Dec(A[i] , A0[i]);
    fill(R+m, R+p, 0);
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m); ++n; ++m;
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(int i = 0; i < m; ++i) scanf("%lld", &b[i]);
    int LL = max(max(n, m), (n - m + 1) << 1);
    L = 1; while(L < LL) L <<= 1; init(L);
    
    PloyDiv(a, b, D, R, n, m);
    
    for(int i = 0; i < n-m+1; ++i) printf("%lld ",D[i]); puts("");
    for(int i = 0; i < m-1; ++i) printf("%lld ",R[i]); puts("");
    return 0;
}

多项式牛顿迭代

题意：已知函数$G(z)$，求一个多项式 $F(z) ~mod ~z^n$ ,满足$$G(F(z)) ≡ 0 ~(mod ~z^n)$$

做法：类似多项式求逆的做法。
当n = 1时，$G(F(z)) ≡ 0 (mod~ z)$要单独求出。现在假设已经求出$$G(F_0(z)) ≡ 0_(modz^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$$考虑如何将答案，扩展至 $mod~z^n$下，把$G(F(z))$在$F_0(z)$泰勒展开$$G(F(z))=G(F_0(z))+\frac{G'(F_0(z))}{1!}(F(z)-F_0(z)) + \frac{G''(F_0(z))}{2!}(F(z)-F_0(z))^2 + ...$$因为$F(z)$和$F_0(z)$的最后 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 项相同，所以 $(F(z)-F_0(z))^2$ 的最低非0项次数大于 $2\lceil \frac{n}{2}\rceil$ ,所以有$$G(F(z))≡G(F_0(z))+\frac{G'(F_0(z))}{1!}(F(z)-F_0(z)) _(modz^n)$$因为$G(F(z)) ≡ 0 (mod z^n)$, 那么有$$F(z) ≡F_0(z) - \frac{G(F_0(z))}{G'(F_0(z))} ~(mod ~z^n)$$

多项式开方

题意：给定一个 $n-1$ 次多项式 $A(x)$，求一个在 $mod~x^n$ 意义下的多项式 $B(x)$，满足$B^2(x) ≡ A(x)~(mod~x^n)$

做法：移向可得$B^2(x) - A(x) ≡ 0 ~(mod~x^n)$ ，设 $G(B(x)) = B^2(x) - A(x)$, 有$G'(B(x)) = 2B(x)$，带入牛顿迭代的式子里，则有：

\[B(x) ≡ B_0(x) - \frac{B_0^2(x)-A(x)}{2B_0(x)} ≡ \frac{B_0^2(x)+A(x)}{2B_0(x)}~(mod~x^n) \]

注意到当 $n = 1$ 时，如果题目不保证 $a_0 = 1$，可能需要计算二次剩余

Code[洛谷P5205]

void PloySqrt(ll A[], ll B[], int n) {
    static ll T[N];
    if(n == 1) {
        B[0] = 1; return;
    }
    int p = 1, hf =  (n+1) >> 1; while(p < n<<1) p <<= 1;
    PloySqrt(A, B, hf); fill(B + hf, B + p, 0);
    PloyInv(B, T, n); fill(T + n, T + p, 0);
    DFT(T, p);

    fill(B + hf, B + p, 0);
    DFT(B, p >> 1);
    for(int i = 0; i != (p >> 1); ++i)
        B[i] = (B[i]*B[i]) % Mod;
    IDFT(B, p >> 1);
    for(int i = 0; i != n; ++i)
        B[i] = (A[i] + B[i]) % Mod * Inv2 % Mod;
    DFT(B, p);
    for(int i = 0; i != p; ++i)
        B[i] = (B[i] * T[i]) % Mod;
    IDFT(B, p);
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(L = 2; L <= n << 1; L <<= 1); init(L);
    Inv2 = qpow(2,Mod-2,Mod);
    PloySqrt(a, b, n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%lld ",b[i]); puts("");
    return 0;
}

多项式 ln 和多项式 exp

多项式ln

定义：对于多项式 $A(x) = \sum_{i \geq 1}a_ix^i$ 多项式ln有$$ln(1-A(x)) = -\sum_{i \geq 1}\frac{A^i(x)}{i}$$
计算
现在有$A(x) = 1 + \sum_{i \geq 1} a_ix^i$
对 $ln(A(x))$ 求导有$$(lnA(x))' = \frac{A'(x)}{A(x)}$$ 只需计算 $A(x)$ 的逆元，再完成求导和积分运算即可

Code[洛谷4725]

void PloyD(ll A[],ll B[], int n) {
    copy(A, A+n, B);
    for(int i = 0; i < n-1; ++i) {
        B[i] = 1ll*B[i+1]*(i+1) % Mod;
    } B[n-1] = 0;
}
void PloyF(ll A[], ll B[], int n) {
    copy(A, A+n, B);
    for(int i = n-1; i; --i) {
        B[i] = B[i-1] * Inv[i] % Mod;
    } B[0] = 0;
}
void PloyLn(ll A[], ll B[], int n) {
    static ll T[N];
    int p = 1; while(p < n << 1) p <<= 1;
    PloyInv(A, T, n); fill(T+n, T+p, 0); DFT(T, p);
    PloyD(A,B,n); fill(B+n, B+p, 0); DFT(B, p);
    for(int i = 0; i != p; ++i) T[i] = (B[i] * T[i]) % Mod;
    IDFT(T, p);
    PloyF(T, B, n); fill(B+n, B+p, 0);
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(L = 2; L <= n << 1; L <<= 1); init(L);
    Inv[1] = 1;
    for(ll i = 2; i <= L; i++)
        Inv[i] = (Mod - Mod / i) % Mod * Inv[Mod % i] % Mod;
    PloyLn(a, b, n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%lld ",b[i]); puts("");
    return 0;
}

多项式exp

定义：对于多项式 $A(x) = \sum_{i \geq 1}a_ix^i$ 多项式exp有$$e^{A(x)} = \sum_{i \geq 0}\frac{A^i(x)}{i!}$$
计算

设 $F(x) = e^{A(x)}$ ，变形后得到 $$ln ~F(x) - A(x) = 0$$ 构造函数 $$G(F(x)) = ln~F(x) - A(x) $$, $G'(F(x)) = \frac{1}{F(x)}$，代入牛顿迭代$$F(x) ≡ F_0(x)(1 - ln~F_0(x) + A(x)) _(modx^n)$$ 当 $n = 1$ 时 $F(x) = 1$

Code[洛谷P4726]

void Ployexp(ll A[], ll B[], int n) {
    static ll T[N];
    if(n == 1) {
        B[0] = 1; return;
    }
    int p = 1, hf = (n + 1) >> 1; while(p < n<<1) p <<= 1;
    Ployexp(A, B, hf); fill(B + hf, B + p, 0);
    PloyLn(B, T, n);
    for(int i = 0; i != n; ++i) T[i] = (A[i] - T[i] + Mod) % Mod;
    ++ T[0]; if(T[0] >= Mod) T[0] -= Mod;
    DFT(T, p); DFT(B, p);
    for(int i = 0; i != p; ++i) B[i] = B[i] * T[i] % Mod;
    IDFT(B, p);
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(L = 2; L <= n << 1; L <<= 1); init(L);
    Inv[1] = 1;
    for(ll i = 2; i <= L; i++)
        Inv[i] = (Mod - Mod / i) % Mod * Inv[Mod % i] % Mod;
    Ployexp(a, b, n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%lld ",b[i]); puts("");
    return 0;
}

多项式任意次幂

题意：给出多项式$A(x)$，求$A^k(x)，k \in Q$

做法：

k为整数时可以快速幂
可以利用$A^k(x) = e^{k~ln~A(x)}$ 计算

多项式三角函数

题意：给出多项式$A(x)$，求$sin A(x)~(mod~x^n)$, $cos A(x)~(mod~x^n)$

做法：利用欧拉公式：$$e^{iA(x)} = cosA(x) + i sinA(x)$$与常规的多项式exp基本一致，只能用FFT，运算全部为复数，注意边界

多项式多点求值

多项式快速插值

多项式复合逆

多项式相关题目及应用

分治FFT

题意：给定长度为$n-1$的序列$g[1],...,g[n-1]$计算$f[0],...,f[n-1]$

\[f[i] = \sum_{j=1}^i f[i-j]g[j] = \sum_{j=0}^{i-1} f[j]g[i-j] \]

有$f[0] = 1$

做法：CDQ+FFT。考虑已经求出$[l,mid]$的$f[i]$，计算他们堆$[mid+1,r]$的贡献$w[x], x \in [mid+1,r] $ 有

\[ w[x] = \sum_{i=l}^{mid} f[i]g[x-i] \rightarrow w[x] = \sum_{i=l}^{x-1} f[i]g[x-i] \]

（设$[mid+1,r]$的$f[i]=0$）
令$k = i-l$,

\[w[x] = \sum_{k=0}^{x-l-1} f[k+l]g[x-k-l] = \sum_{k=0}^{x-l-1} a[k]b[x-l-1-k] \\ \]

我们凑出对应的$a[i], b[i]$

\[a[k] = f[k+l]\\ b[x-l-1-k] = g[x-l-k] \rightarrow \\ b[x-l-1+k] = g[x-l+k] \rightarrow \\ b[k-1] = g[k] \rightarrow b[k] = g[k+1] \]

Code[洛谷P4721 分治FFT]

int n, L;
ll Ans[N], g[N], a[N], b[N];
void solve(int l, int r) {
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    solve(l,mid);
    int len = r - l + 1, p = 1;
    for(;p < len; p <<= 1); // 我们最多需要r-l+1前项!!!
    for(int i = 0; i < p; ++ i) a[i] = b[i] = 0;
    for(int i = l; i <= mid; ++ i) a[i-l] = Ans[i];
    for(int i = 0; i <= r-l; ++ i) b[i] = g[i+1];
    DFT(a,p), DFT(b,p);
    for(int i = 0; i < p; ++i) a[i] = a[i]*b[i]%Mod;
    IDFT(a,p);
    rep(i,mid+1,r) {
        Ans[i] += a[i-l-1]; 
        if(Ans[i] >= Mod) Ans[i] -= Mod;
    }
    solve(mid+1,r);
}
int main() {
    read(n); rep(i,1,n-1) read(g[i]);
    for(L = 2; L <= n << 1; L <<= 1); init(L);
    Ans[0] = 1;
    solve(0,n-1);
    rep(i,0,n-1) write(Ans[i]), putchar(' '); putchar('\n');
}

参考资料

posted @ 2019-01-31 17:22 RRRR_wys 阅读(362) 评论(0) 编辑收藏举报

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多项式

定义

多项式乘法

离散傅里叶变换（DFT）

定义

DFT与圆周卷积

有限长序列的圆周卷积与线性卷积

DSP角度的解释

一些变换

快速傅里叶变换（FFT）

快速哈特莱变换（FHT）

快速数论变换（NTT）

任意模数FFT

多项式的各种操作

多项式逆元

多项式除法

多项式牛顿迭代

多项式开方

多项式 ln 和多项式 exp

多项式ln

多项式exp

多项式任意次幂

多项式三角函数

多项式多点求值

多项式快速插值

多项式复合逆

多项式相关题目及应用

分治FFT

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