数论

 

• 　　数论板子

　　1.　　最大公约数和最小公倍数　　

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int lcm(int a, int b){
   return a/gcd(a,b)*b;
 
}

 

　　2. 

 

 

 

 

 

•        练习

　　P1313 计算系数

　　　　思路：杨辉三角+二项式定理

 

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二项式定理

公式： (a+b)^{^n} = C(n,0) a^{^n} + C(n,1) a^{^(n-1)} b +...+ C(n,i) a^{^(n-i)} b^{^i} +...+ C(n,n) b^{^n}

   　　     注：C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!/(n-i)!i!

 

系数性质： 

 

　　　　①对称性:

　　　  ②增减性和最大值:先增后减

 

证明：

 

　　　　1、Cn0+Cn1+Cn2…+Cnk+…+Cnn=2^n

 

　　　　2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0

 

　　　　3、Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1)

 

　　由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

 

　　　　当a=b=1时，代入二项式定理可证明1

 

　　　　当a=1，b=-1时代入二项式定理可证明2

 

　　由①+②得:2(Cn0+Cn2+Cn4+……)=2^n

 

　　　　所以 Cn0+Cn2+Cn4+……=2^(n-1)

 

　　由①-②得:2(Cn1+Cn3+Cn5+……)=2^n

 

　　　　所以 Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1)

 

　　可知 Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1)可证明3

 

注：组合数的性质:

 

　　⑴:C(n，m)=C(n，n-m)

 

　　⑵:C(n+1，m)=C(n，m)+C(n，m-1)

 

　　⑶:C(n，0)=C(n，n)=1

 

 

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#include<cstdio>
const int N=1010;
const int mod=10007;
using namespace std;
int f[N][N],a,b,k,n,m;
int ksm(long x,long y){//int ->80 玄学 
    long ret=1;
    while(y){
        if(y%2==1) ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y/=2;
    }
    return ret;
}// x^y 
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        f[i][0]=1,f[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%mod;
    //杨辉三角 计算f（k,m）
    printf("%d",((f[k][m]*ksm(b,m))%mod*ksm(a,n))%mod);
    // 计算f（k,m）* a^m * b^（k-m）
    return 0;
}